Усулҳои ҳисоб кардани медиана барои маълумоти ягона ва гурӯҳӣ
Медиана ченаки майли марказӣ аст, ки дар омор зуд-зуд истифода мешавад. Баръакси миёна (миёна), ки ҳамаи арзишҳоро ҷамъ мекунад ва сипас ба шумораи арзишҳо тақсим мекунад, медиана "арзиши миёна"-и маҷмӯи додаҳои мураттабшударо таъкид мекунад. Аз сабаби тамаркуз ба мавқеъ, медиана нисбат ба арзишҳои шадид (берун аз арзишҳо) нисбатан муқовимат мекунад, масалан, вақте ки як арзиш нисбат ба дигарон хеле калон ё хеле хурд аст. Аз ин рӯ, медиана дар таҳлили маълумоти иқтисодӣ, маориф, таҳқиқоти иҷтимоӣ ва ҳатто арзёбии холҳои тестҳо васеъ истифода мешавад.
Дар ин мақола, мо усулҳои ҳисоб кардани медианаро барои ду намуди маълумот баррасӣ хоҳем кард: маълумоти ягона (гурӯҳбандӣ нашуда) ва маълумоти гурӯҳбандӣшуда (дар ҷадвали тақсимоти басомад пешниҳод шудаанд). Илова бар формула, муҳокима қадамҳои амалиро барои татбиқи осон дар бар мегирад.
-
1. Мафҳуми асосии медиана
Медиана арзиши миёна аст, ки пас аз ҷудо кардани маълумот аз хурдтарин ба калонтарин ба даст меояд. Агар шумораи нуқтаҳои додаҳо тоқ бошад, медиана арзиши дақиқи миёна аст. Агар шумораи нуқтаҳои додаҳо ҷуфт бошад, медиана миёнаи ду арзиши миёна аст.
Ба таври фаҳмо, медиан маълумотро ба ду қисм тақсим мекунад:
– 50% маълумот аз медиана поёнтар (ё баробар) аст
– 50% маълумот аз медиана болотар (ё баробар) аст
Азбаски медиана ба тартиб асос ёфтааст, қадами аввалине, ки қариб ҳамеша талаб карда мешавад, ин ҷудо кардани маълумот аст.
-
2. Ҳисоб кардани медиана барои маълумоти ягона
Маълумоти ягона маълумотест, ки ҳамон тавре ки ҳаст, пешниҳод карда мешавад (масалан, рӯйхати баҳоҳои донишҷӯён), на дар синфҳои фосилавӣ, ба монанди маълумоти гурӯҳӣ.
А. Қадамҳои умумӣ
1. Маълумотро аз хурдтарин ба калонтарин арзиш ҷудо кунед.
2. Миқдори маълумотро муайян кунед, масалан n.
3. Мавқеи медианаро муайян кунед:
– Агар n тоқ бошад, медиана дар мавқеи \((n+1)/2\) аст.
– Агар n ҷуфт бошад, медиана миёнаи додаҳо дар мавқеъҳои \(n/2\) ва \((n/2)+1\) аст.
B. Формулаи медианӣ барои маълумоти ягона
– Агар n тоқ бошад:
\[
Ме = x_{(n+1)/2}
\]
Ин маънои онро дорад, ки медиана арзиши додаҳо дар тартиби \((n+1)/2\)-ум аст.
– Агар n ҷуфт бошад:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Намунаи маълумоти ягона (n тоқ)
Маълумот: 7, 2, 9, 4, 3
1) Мураттабсозӣ: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (тоқ)
3) Мавқеи миёна = \((5+1)/2 = 3\)
Медиана = маълумоти сеюм = 4
Пас, медианаи маълумот 4 аст.
D. Намунаи маълумоти ягона (n ҷуфт)
Маълумот: 10, 4, 6, 8
1) Мураттабсозӣ: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (ҷуфт)
3) Мавқеи миёна маълумоти 2 ва 3 мебошад
Медиана = \((6 + 8)/2 = 7\)
Пас, медианаи маълумот 7 аст.
E. Эзоҳи муҳим: Маълумоте, ки басомад дорад
Баъзан як маҷмӯи додаҳоро метавон ҳамчун арзиш ва басомад дод (масалан, 60 ду маротиба, 70 панҷ маротиба пайдо мешавад). Дар ин ҳолат, медиана ҳанӯз ҳам дар асоси "тартиб"-и додаҳо пайдо мешавад, аммо мо метавонем басомади ҷамъшударо барои муайян кардани мавқеи медиана бидуни номбар кардани нуқтаҳои додаҳо алоҳида истифода барем. Принсип якхела аст: мавқеи (n+1)/2-юм (тоқ) ё мавқеи (n/2) ва (n/2)+1-умро (ҷуфт) ёбед, сипас ба арзишҳое, ки ин мавқеъро дар асоси басомади ҷамъшуда фаро мегиранд, назар кунед.
-
3. Ҳисоб кардани медиана барои маълумоти гурӯҳбандӣ
Маълумоти гурӯҳбандӣ маълумотест, ки ба фосилаҳои синфӣ ва басомадҳои онҳо ҷамъбаст шудааст. Масалан: 3 нафар бо қади 150–154 см, 8 нафар бо қади 155–159 см ва ғайра. Бар хилофи маълумоти алоҳида, медианаи маълумоти гурӯҳбандӣ одатан дақиқ муайян карда намешавад, зеро мо арзишҳои инфиродиро дар дохили фосила намедонем. Аз ин рӯ, медиана бо истифода аз тақриб (баҳодиҳӣ) бо истифода аз формулаи медиана барои тақсимоти гурӯҳбандӣ ҳисоб карда мешавад.
A. Истилоҳоти муҳим дар медианаи додаҳои гурӯҳӣ
Пеш аз истифодаи формула, мо бояд якчанд ҷузъҳоро дарк кунем:
– n = басомади умумӣ (шумораи умумии маълумот)
– n/2 = мавқеи медиании ҷамъшуда
– Синфи медианӣ = синфи аввали фосилавӣ, ки басомади ҷамъшаванда ≥ n/2-ро ба вуҷуд меорад
– L = канори поёнии синфи медианӣ (на ҳадди поёнӣ, балки канори синф; барои маълумоти пайваста одатан танзими 0,5-ро истифода мебаранд, агар маълумот ададҳои бутун бошанд)
– F = басомади ҷамъшуда пеш аз синфи медианӣ
– f = басомади синфи медианӣ
– c = дарозии синф (паҳнои фосила)
Б. Қадамҳо барои муайян кардани медианаи маълумоти гурӯҳӣ
1. Ҷадвали тақсимоти басомадро эҷод кунед ва сутуни басомади ҷамъшударо илова кунед.
2. n (шумораи басомадҳо)-ро ҳисоб кунед ва n/2-ро муайян кунед.
3. Синфи медианаро муайян кунед, яъне синфе, ки мавқеъҳои n/2-ро дар асоси басомади ҷамъшаванда дар бар мегирад.
4. Арзишҳоро ба формулаи медианӣ барои маълумоти гурӯҳӣ ворид кунед.
C. Формулаи медианӣ барои маълумоти гурӯҳӣ
\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
Ин формула интерполятсияи хаттиро дар дохили синфи медианӣ иҷро мекунад, бо назардошти он ки маълумот дар фосилаи синф баробар тақсим шудааст.
D. Намунаи медианаи маълумоти гурӯҳӣ
Масалан, маълумоти зерини холҳои имтиҳон:
| Фосилаи арзиш | Басомад (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Басомади умумӣ:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) n/2-ро ҳисоб кунед:
\[
n/2 = 20
\]
3) Басомади ҷамъшаванда:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Мавқеи 20 дар синфе ҷойгир аст, ки аввалин холҳои ҷамъшуда ≥ 20, яъне 60–69 дорад. Пас, ин синфи медиана аст.
4) Компонентҳоро муайян кунед:
– L = канори поёнии синфи медианӣ. Барои фосилаи 60-69, канори поёнӣ 59,5 аст (агар маълумот арзиши бутун бошад).
– F = басомади ҷамъшуда пеш аз синфи медианӣ = 13
– f = басомади синфи медианӣ = 12
– c = дарозии синф = 10
5) Ба формула ворид кунед:
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\times 10
\]
\[
Ман = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Пас, медианаи маълумоти гурӯҳӣ тақрибан 65,33 аст.
-
4. Хатогиҳои маъмулӣ
Ҳангоми ҳисоб кардани миёнаравӣ баъзе хатогиҳои маъмулӣ:
1. Маълумот барои маълумоти алоҳида ҷудо карда нашудааст, аз ин рӯ арзиши миёна дақиқ нест.
2. Муайян кардани нодурусти мавқеи медиана ҳангоми ҷуфт будани n (бояд миёнаи ду арзиши миёнаро гирад).
3. Барои маълумоти гурӯҳӣ, интихоби синфи медиана нодуруст аст, зеро он басомади ҷамъшавандаро ба вуҷуд намеорад.
4. Истифодаи ҳадди поёнии синфи канори поёнӣ (L) вақте ки маълумот ададҳои бутуни пайваста/фосилавӣ аст.
5. Муайян кардани нодурусти дарозии синф (c), махсусан агар фосилаҳо номувофиқ бошанд.
-
5. Хулоса
Медиана як ченаки оддӣ, вале пурқуввати майли марказӣ аст, хусусан вақте ки маълумот дорои арзишҳои экстремистӣ мебошад. Барои маҷмӯи додаҳои алоҳида, медиана мустақиман аз мавқеи миёна пас аз ҷудо кардани додаҳо муайян карда мешавад ва барои шумораи тоқ ва ҷуфти маҷмӯи додаҳо бо коркарди гуногун. Дар айни замон, барои маҷмӯи додаҳои гурӯҳбандӣшуда, медиана бо истифода аз формулаи интерполятсия, ки ба синфи медиана, басомади ҷамъшаванда ва дарозии синф асос ёфтааст, ҳисоб карда мешавад.
Бо дарки мафҳум ва қадамҳо, шумо метавонед медианаро зуд ва дақиқ ҳисоб кунед, ҳам дар маълумоти оддӣ ва ҳам дар маълумоти дар ҷадвалҳо ҷамъбастшуда. Дар бисёр ҳолатҳои таҳлилӣ, медиана интихоби бештар намояндагӣ нисбат ба миёна аст, хусусан вақте ки тақсимоти маълумот асимметрӣ аст ё дорои нуқтаҳои берунӣ мебошад.
Агар хоҳед, ман инчунин метавонам саволҳои машқро дар баробари муҳокимаҳо илова кунам, то фаҳмиши шуморо дар бораи медианаи маълумоти инфиродӣ ва гурӯҳӣ тақвият бахшам.
