Формулаи регрессияи логистикӣ
Регрессияи логистикӣ яке аз усулҳои маъмултарин дар омор ва илми додаҳо барои моделсозии робитаи байни як қатор тағйирёбандаҳои мустақил (пешгӯикунандаҳо) ва тағйирёбандаи вобастаи категориявӣ, махсусан дуӣ (масалан, ҳа/не, муваффақият/нокомӣ, бемор/солим) мебошад. Баръакси регрессияи хаттӣ, ки арзишҳои пайвастаро ба вуҷуд меорад, регрессияи логистикӣ барои арзёбии эҳтимолияти рӯйдод тарҳрезӣ шудааст, аз ин рӯ натиҷаи ниҳоӣ дар диапазони аз 0 то 1 аст. Дар ин мақола, мо формулаи регрессияи логистикӣ, маънои ҳар як ҷузъ ва тарзи тафсири онро баррасӣ хоҳем кард.
Чаро регрессияи логистикӣ лозим аст?
Агар мо барои пешгӯии эҳтимолиятҳо аз регрессияи хаттӣ истифода барем, модел метавонад арзишҳои камтар аз 0 ё болотар аз 1-ро ба вуҷуд орад, ки ин барои эҳтимолият ба таври возеҳ ғайримантиқӣ аст. Регрессияи логистикӣ ин мушкилотро бо истифода аз функсияи ғайрихаттӣ ҳал мекунад, ки натиҷаи ҳисобшударо (ки метавонад ҳар гуна арзиш бошад) ба арзиши эҳтимолият байни 0 ва 1 мутобиқ мекунад. Функсияи маъмултарин функсияи логистикӣ ё сигмоидӣ мебошад.
Масалан, фарз кунем, ки мо мехоҳем пешгӯӣ кунем, ки оё муштарӣ аз рӯи синну сол, давомнокии обуна ва басомади истифодааш аз муштариён хориҷ мешавад ё не. Натиҷаи пешбинишуда танҳо ду имкон дорад: хориҷшавӣ (1) ё набудани хориҷшавӣ (0). Регрессияи логистикӣ барои ин намуди вазъият хеле мувофиқ аст.
Формулаи асосӣ барои регрессияи логистикӣ
Моҳияти регрессияи логистикӣ моделсозии эҳтимолияти \(p\) аст, ки \(Y = 1\) (рӯй додани ҳодиса), бо назардошти арзиши тағирёбандаи пешгӯикунанда \(X\).
Моделҳои регрессияи логистикӣ одатан дар ду шакли муҳим навишта мешаванд:
1) Шакли эҳтимолият (Сигмоид)
\[
p = P(Y=1 \mid X) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]
бо
\[
z = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k
\]
Маълумот:
– \( p \) эҳтимолияти рӯйдод аст (масалан: гардиш = 1).
– \( e \) адади Эйлер аст (тақрибан 2,71828).
– \( z \) як комбинатсияи хаттии пешгӯикунандаҳо мебошад.
– \( \beta_0 \) буриш (доимӣ) аст.
– \( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k \) коэффитсиентҳои регрессия мебошанд.
– \( X_1, X_2, \ldots, X_k \) тағйирёбандаҳои мустақил мебошанд.
Функсияи сигмоидӣ кафолат медиҳад, ки новобаста аз арзиши \(z\), арзиши \(p\) дар байни 0 ва 1 боқӣ мемонад.
2) Формаи логит (Коэффитсиентҳои логит)
Шакли дигари хеле муҳим шакли logit аст, ки логарифми эҳтимолият аст:
\[
\text{logit}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k
\]
Маълумот:
– \( \frac{p}{1-p} \) эҳтимолият (имконияти нисбӣ) номида мешавад.
– \( \ln \) логарифми натуралӣ аст.
Шакли logit шарҳ медиҳад, ки регрессияи логистикӣ дар асл имкониятҳои log-ро ҳамчун функсияи хаттии пешгӯикунандаҳо модел мекунад. Ин тафсири коэффитсиентҳоро равшантар мекунад, хусусан дар заминаи таносубҳои имконият.
Фаҳмидани эҳтимолият ва таносубҳои эҳтимолият
Барои дарки воқеии формулаи регрессияи логистикӣ, мо бояд байни эҳтимолият ва имконият фарқ гузорем.
– Эҳтимолият \( p \): имконияти рух додани ҳодиса (0 ба 1).
– Эҳтимолият: муқоисаи эҳтимолияти рӯй додани чизе ба рӯй надодани он:
\[
\text{коэффитсиентҳо} = \frac{p}{1-p}
\]
Мисол: агар \( p = 0{,}8 \), пас:
\[
\text{коэффитсиентҳо} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4
\]
Ин маънои онро дорад, ки эҳтимолияти рух додани ин ҳодиса 4 маротиба бештар аз рух надодан аст.
Дар регрессияи логистикӣ, коэффитсиенти \( \бета \) аксар вақт тавассути таносуби эҳтимолият шарҳ дода мешавад:
\[
\text{OR} = e^{\beta}
\]
– Агар \( \beta > 0 \) бошад, пас \( e^{\beta} > 1 \): пешгӯикунанда эҳтимолияти рӯйдодро зиёд мекунад.
– Агар \( \beta < 0 \), пас \( e^{\beta} < 1 \): пешгӯикунанда эҳтимолияти рӯйдодро кам мекунад. - Агар \( \beta = 0 \), пас \( e^{\beta} = 1 \): ба эҳтимолият таъсире нест. Масалан, агар \( \beta_1 = 0{,}7 \), пас: \[ e^{0{,}7} \approx 2{,}01 \] Ин маънои онро дорад, ки ҳар як афзоиши 1 воҳид дар \( X_1 \) эҳтимолияти рӯйдодро тақрибан 2,01 маротиба зиёд мекунад (бо назардошти он, ки дигар тағирёбандаҳо доимӣ мемонанд). Мисоли модели регрессияи оддии логистикӣ Фарз мекунем, ки мо танҳо як тағирёбандаи пешгӯикунанда \( X \) дорем, масалан, шумораи соатҳои таҳсил дар як ҳафта, то пешгӯии супоридани имтиҳонро (гузаштан = 1, ноком шудан = 0) пешгӯӣ кунем. Модел:
