Таҳлили оддии регрессияи хаттӣ
Регрессияи хаттии оддӣ як усули оморӣ аст, ки барои таҳлили робитаи байни ду тағирёбандаи миқдорӣ истифода мешавад. Тағйирёбандае, ки мо кӯшиш мекунем пешгӯӣ кунем, тағирёбандаи вобаста ё посух номида мешавад, дар ҳоле ки тағирёбандае, ки барои пешгӯӣ истифода мешавад, тағирёбандаи мустақил ё пешгӯикунанда номида мешавад. Дар регрессияи хаттии оддӣ, мо кӯшиш мекунем, ки беҳтарин хати ростро пайдо кунем, ки робитаи байни ин ду тағирёбандаро тавсиф мекунад.
Мафҳумҳои асосии регрессияи хаттии оддӣ
Регрессияи хаттии оддӣ бар асоси фарзияе асос ёфтааст, ки байни тағирёбандаи вобаста \(Y\) ва тағирёбандаи мустақил \(X\) робитаи хаттӣ вуҷуд дорад. Шакли умумии модели регрессияи хаттии оддӣ чунин аст:
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon \]
Ди мана:
– \( Y \) тағирёбандаи вобаста аст.
– \( X \) тағирёбандаи мустақил аст.
– \( \beta_0 \) буриш аст, ки арзиши \(Y\) ҳангоми \(X = 0\) аст.
– \( \beta_1 \) нишебӣ ё градиент аст, ки тағйирёбии миёна дар \(Y\) барои ҳар як тағйирёбии воҳид дар \(X\) мебошад.
– \( \epsilon \) хато ё истилоҳи боқимонда аст, ки тағйирпазириро дар \(Y\) ифода мекунад, ки онро бо \(X\) шарҳ додан мумкин нест.
Ҳадафи регрессияи хаттии оддӣ ин арзёбии параметрҳои \(\beta_0\) ва \(\beta_1\) мебошад, то ки модел барои пешгӯии арзиши \(Y\), ки бо арзиши \(X\) алоқаманд аст, истифода шавад.
Усули хурдтарин квадратҳо
Яке аз усулҳои маъмултарин барои мувофиқ кардани модели оддии регрессияи хаттӣ усули Квадратҳои Камтарин мебошад. Ин усул барои кам кардани ҷамъи квадратҳои инҳирофҳои амудӣ байни мушоҳидаҳои воқеӣ ва арзишҳои пешгӯишуда аз ҷониби модел равона шудааст. Фарз мекунем, ки мо n мушоҳида дорем, ки аз ҷуфтҳои \((x_i, y_i)\) барои \(i = 1, 2, …, n\ иборатанд. Функсияи кам кардашаванда чунин аст:
\[ S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \]
Барои ёфтани \(\beta_0\) ва \(\beta_1\), ки ин функсияро кам мекунанд, мо ҳосилаҳои қисман \(S(\beta_0, \beta_1)\)-ро нисбат ба ҳар як параметр мегирем ва ин ҳосилаҳоро ба сифр мегузорем. Ҳисобкунии математикиро метавон чунин содда кард:
\[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]
\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]
Ди мана:
– \(\bar{x}\) миёнаи \(X\) аст
– \(\bar{y}\) миёнаи \(Y\) аст
Пас аз ба даст овардани параметрҳои \(\beta_0\) ва \(\beta_1\), модели оддии регрессияи хаттиро барои пешгӯии арзиши \(Y\) барои ҳар як арзиши \(X\) истифода бурдан мумкин аст.
Фарзияҳо дар регрессияи хаттии оддӣ
Барои натиҷаҳои дуруст ва боэътимод, регрессияи хаттии оддӣ якчанд чизро дар назар дорад:
1. Хаттӣ: Робитаи байни тағйирёбандаи вобаста ва тағйирёбандаи мустақил бояд хаттӣ бошад.
2. Истиқлолият: Мушоҳидаҳо бояд аз якдигар мустақил бошанд.
3. Гомоскедастикӣ: Тағйирпазирии боқимонда бояд дар тамоми диапазони арзишҳои тағйирёбандаи мустақил доимӣ бошад.
4. Нормалии боқимонда: Боқимондаҳо (хатогиҳо) бояд тақсимоти нормалиро риоя кунанд.
Агар ин фарзияҳо риоя нашаванд, натиҷаҳои модели оддии регрессияи хаттӣ нобовар хоҳанд буд ва шояд пешгӯиҳои дақиқ дода натавонанд.
Арзёбии модели регрессия
Як роҳи арзёбии он, ки модели оддии регрессияи хаттӣ то чӣ андоза хуб пешгӯӣ кардааст, истифодаи Коэффитсиенти муайянкунӣ (\(R^2\)) мебошад. Коэффитсиенти муайянкунӣ таносуби тағйирпазириро дар тағирёбандаи вобаста нишон медиҳад, ки онро бо тағйирпазирии тағирёбандаҳои мустақил шарҳ додан мумкин аст.
\[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]
Ди мана:
– \(\hat{y}_i\) арзиши пешгӯишудаи \(Y\) аст.
– \(y_i\) арзиши воқеии \(Y\) аст.
– \(\bar{y}\) миёнаи арзишҳои \(Y\) аст.
Қимати \(R^2\) аз 0 то 1 аст. Қимати \(R^2\), ки ба 1 наздик аст, нишон медиҳад, ки модел метавонад аксари тағйирпазирии тағйирёбандаи вобастаро шарҳ диҳад.
Татбиқ дар забони барномасозӣ
Барои амалӣ кардани регрессияи хаттии оддӣ, мо метавонем аз нармафзори гуногуни оморӣ ё забонҳои барномасозӣ истифода барем. Дар зер намунаи татбиқ дар Python бо истифода аз китобхонаи `scikit-learn` оварда шудааст:
"`питон
numpy -ро ҳамчун np ворид кунед
воридоти matplotlib.pyplot ҳамчун plt
аз sklearn.linear_model воридоти LinearRegression
аз sklearn.metrics ворид кардани mean_squared_error, r2_score
Маълумот
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
намуна
модел = Регрессияи хаттӣ()
модели мувофиқ(X, y)
Пешгӯӣ
y_pred = модел.пешгӯӣ(X)
Коэффитсиент
beta_0 = модели.буридан_
beta_1 = модел.coef_[0]
чоп(f'Intercept: {beta_0}')
чоп(f'Slope: {beta_1}')
print(f'Хатои миёнаи квадратӣ: {mean_squared_error(y, y_pred)}')
print(f'Коэффитсиенти муайянкунӣ (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')
Графикаи додаҳо ва хати регрессия
plt.scatter(X, y, color='кабуд')
plt.plot(X, y_pred, color='сурх')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
""
Дар мисоли боло, мо аввал китобхонаҳои заруриро ворид мекунем, маълумоти \(X\) ва \(Y\)-ро муайян мекунем ва сипас объекти `LinearRegression`-ро аз `scikit-learn` барои мувофиқ кардани модел ба маълумот истифода мебарем. Пас аз мувофиқ кардани модел, мо пешгӯиҳо мекунем ва коэффитсиентҳо, инчунин хатои миёнаи квадратӣ ва коэффитсиенти муайянкуниро ҳисоб мекунем. Дар ниҳоят, мо маълумот ва хати регрессияро мекашем.
Хулоса
Регрессияи хаттии оддӣ як воситаи пуриқтидори таҳлили оморӣ мебошад, ки барои шарҳ додани робитаи байни ду тағирёбандаи миқдорӣ истифода мешавад. Бо баъзе фарзияҳои асосӣ дар бораи хаттӣ, мустақилият, гомоскедастикӣ ва муқаррарӣ, мо метавонем арзиши тағирёбандаи вобастаро дар асоси арзишҳои тағирёбандаҳои мустақил пешгӯӣ кунем. Усули хурдтарин квадратҳо роҳи муассири мувофиқ кардани хати регрессия ва муайян кардани параметрҳои оптималиро фароҳам меорад. Арзёбии модел тавассути коэффитсиенти муайянкунӣ (R2) фаҳмиш медиҳад, ки модели мо то чӣ андоза хуб кор мекунад.
Гарчанде ки регрессияи хаттии оддӣ маҳдудиятҳо дорад, ба монанди қобилияти кор бо ду тағирёбанда ва фарзияҳое, ки бояд риоя карда шаванд, ин усул пояи муҳим дар омор ва таҳлили маълумот боқӣ мемонад ва аксар вақт ҳамчун қадами аввал дар фаҳмидани робитаи байни тағирёбандаҳо пеш аз гузаштан ба усулҳои мураккабтар истифода мешавад.
