Лаҳзаи инерсия

1. Моменти инерсияи зарра

Зарраи чархзанандаро дида бароед. Ба заррае, ки массааш m аст, қувваи F дода мешавад, то ки зарра дар атрофи меҳвари O чарх занад. Зарра аз меҳвари чархзанӣ r ҷудо аст. Аввалан, зарра дар ҳолати оромӣ қарор дорад (v = 0). Пас аз ҳаракат бо қувваи F, зарраҳо бо суръати муайян ҳаракат мекунанд, то ки зарраҳо шитоби тангенсиалӣ дошта бошанд. Робитаи байни қувва (F), масса (m) ва шитоби тангенсиалии зарраҳо бо муодилаи 3 ифода карда мешавад:

F = ma_{сиёҳи сӯхта} (Муодилаи 3)

Зарраҳо ба тавре чарх мезананд, ки зарраҳо шитоби кунҷӣ дошта бошанд. Робитаи байни шитоби тангенсиалӣ ва шитоби кунҷӣ бо муодилаи 4 ифода карда мешавад:

a_{сиёҳи сӯхта} = р α (Муодилаи 4)

a-ро дар муодилаи 3 бо a-ро дар муодилаи 4 иваз кунед:

F = ҷаноби α

r F = ҷаноб² α

τ = (Ҷаноби²) α (Муодилаи 5)

r F лаҳзаи қувва ва mr аст² Моменти инерсияи зарра аст. Муодилаи 5 робитаи байни моменти қувва, моменти инерсия ва шитоби кунҷии зарраҳои чархзанандаро нишон медиҳад. Муодилаи 5 муодилаи қонуни дуюми Нютон барои зарраҳои чархзананда аст.

Дар лаҳзаи инерсия зарра ҳосили массаи зарра (m) ва квадрати масофаи байни зарраҳо бо меҳвари гардиш (r) аст.²).

Ман = Ҷаноб² (Муодилаи 6)

I = моменти инерсияи зарра, m = массаи зарра, r = масофа байни зарра ва меҳвари гардиш. Муодилаи 6 барои муайян кардани моменти инерсияи зарра истифода мешавад.

3.2 Масъалаҳои намунавии моменти инерсияи зарра

Намунаи масъалаи 1.

Заррае бо массаи 2 кг ба ресмони 0.5 метр дарозӣ баста ва сипас гардиш дода шуд. Моменти инерсияи зарраҳо ҳангоми гардиш чанд аст?

ҳалли:

Ман = Ҷаноб²

I = (2 кг) (0.5 м)²

I = 0.5 кг м²

Намунаи масъалаи 2.

Ду зарра, ки массаи ҳар кадоме 2 кг ва 4 кг доранд, бо сими сабук пайваст карда шудаанд, ки дарозии он 2 метр аст. Массаи симҳоро нодида гиред. Моменти инерсияи ду зарраро муайян кунед, агар:

а) Меҳвари гардиш байни ду зарра ҷойгир аст

ҳалли:

Ман = м₁ r₁² + м₂ r₂²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 кг м²

б) Меҳвари гардиш дар масофаи 0.5 метр аз заррае бо массаи 2 кг ҷойгир аст.

Ман = м₁ r₁² + м₂ r₂²

I = (2)(0.5)²) + (4)(1.5)²)

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 кг м²

в) Меҳвари гардиш дар масофаи 0.5 метр аз заррае бо массаи 4 кг ҷойгир аст

Ман = м₁ r₁² + м₂ r₂²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5)²)

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 кг м²

Бар асоси натиҷаҳои ҳисобҳои дар боло овардашуда, моменти инерсия аз мавқеи меҳвари гардиш таъсири сахт мегирад. Гарчанде ки шакл ва андоза якхелаанд, зеро мавқеи меҳвари гардиш гуногун аст, моменти инерсия низ гуногун аст.

Зарраҳое, ки дар наздикии меҳвари гардиш қарор доранд, моменти инерсияи хурдтар доранд, дар ҳоле ки зарраҳое, ки аз меҳвари гардиш дуранд, моменти инерсияи калонтар доранд. Агар фарз кунем, ки ду зарраи дар боло зикршуда объектҳои сахт мебошанд, пас ҳар як зарра дар наздикии меҳвари гардиш қарор дорад.

нисбат ба моменти инерсияи заррае, ки аз меҳвари гардиш дуртар аст, моменти инерсияи хурдтар дорад.

3.3 Моменти инерсияи ҷисми сахти якхела

Ҷисмҳои сахт аз зарраҳои зиёд иборатанд. Моменти инерсияи ҷисми сахт шумораи умумии моментҳои инерсияи ҳар як зарраест, ки объектро месозад.

I = Σ ҷаноб²

Ман = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Барои муайян кардани моменти инерсияи ҷисми сахт, мо бояд онро ҳангоми гардиш аз назар гузаронем, зеро ҷойгиршавии меҳвари гардиш ба моменти инерсияи ҷисм таъсир мерасонад. Моменти инерсияи ҳар як зарра инчунин аз массаи (m) зарра ва квадрати масофа (r) вобаста аст.²) аз меҳвари гардиш. Массаи ҳамаи зарраҳое, ки объектро ташкил медиҳанд, массаи объект аст.

Мушкилот дар он аст, ки масофаи ҳар як зарра аз меҳвари гардиш фарқ мекунад.

Камшавии формулаи моменти инерсияи ҳалқаи тунукро бо ангуштон R ва массаи M баррасӣ кунед.

Агар меҳвари гардиш дар маркази ҳалқа ҷойгир бошад, ҳамаи зарраҳои ҳалқаи тунук аз меҳвари гардиш ҷойгир шудаанд. Моменти инерсияи ҳалқаи тунук ба моменти инерсияи ҳамаи зарраҳо баробар аст:

I = Σ ҷаноб²

Ман = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Массаи ҳамаи зарраҳо = массаи ҳалқаи тунук (М)

I = M (r)₁² + р₂² + р₃² + ….. + р_n²)

Ҳар як зарраи ҳалқаи тунук аз меҳвари гардиш r ҷойгир аст, то ки r₁ = р₂ = р₃ = rn = R

Муодилаи моменти инерсияи ҳалқаи тунук:

Ман = MR²

I = моменти инерсияи ҳалқаи тунук, M = массаи ҳалқаи тунук, R = радиуси ҳалқаи тунук.

Агар меҳвари гардиш дар маркази ҳалқа ҷойгир набошад-чӣ? Агар меҳвари гардиш дар маркази ҳалқа ҷойгир набошад, формулаи моменти инерсияи ҳалқаи тунукро бо истифода аз усули дар боло зикршуда ба даст овардан мумкин нест.

зеро масофаи ҳар як зарра аз меҳвари гардиш гуногун аст. Гирифтани формулаи моменти инерсия барои чунин масъала дар ин мавзӯъ баррасӣ нашудааст.

Формулаи моменти инерсия барои баъзе ҷисмҳои сахт

3.4 Масъалаи намунавии моменти инерсияи ҷисми сахти якхела

Намунаи масъалаи 1:

Силиндрҳои милаи AB ҳангоми гардиш аз B массаи 3 кг доранд,

Моменти инерсия 27 кг м аст²Моменти инерсия чист, агар

тавассути C гардиш кардааст?

ҳалли:

ҳалли:

Формулаи моменти инерсия барои милаи сахти якхела (меҳвари гардиш дар маркази мила ҷойгир аст):

I = 1/12 мл²

27 = (1/12) ML²

(27)(12) = ML²

324 = ML²

Формулаи моменти инерсияи милаи сахти якхела (меҳвари гардиш дар канори мила):

I = 1/3 мл²

I = 1/3 (324)

I = 108 кг м²