Амалҳо дар ададҳои мураккаб
Ададҳои мураккаб мафҳуми риёзӣ мебошанд, ки ададҳои воқеӣ ва хаёлиро муттаҳид мекунад. Онҳо барои бисёр соҳаҳои илм, аз ҷумла физика, муҳандисӣ ва худи математика, асосианд. Дар ин мақола, мо амалҳои гуногунеро, ки бо ададҳои мураккаб иҷро кардан мумкин аст, аз ҷумла ҷамъ, тарҳ, зарб, тақсим ва ғайраро баррасӣ хоҳем кард.
Фаҳмидани рақамҳои мураккаб
Ҳар як адади мураккабро метавон ба шакли \(a+bi\) навишт, ки дар он \(a\) ва \(b\) ададҳои воқеӣ мебошанд ва \(i\) воҳиди тахайюлӣ аст, ки \(i^2 = -1\-ро қонеъ мекунад. Истилоҳи \(a\) қисми воқеӣ номида мешавад, дар ҳоле ки \(b\) қисми тахайюлии адади мураккаб аст. Масалан, \(3 + 4i\) адади мураккабест, ки қисми воқеии 3 ва қисми тахайюлии 4 дорад.
Ҳамчун муодилаи асосӣ, мо дорем:
\[ i^2 = -1 \]
Ин маънои онро дорад, ки \(i\) решаи квадратии -1 аст.
Ҷамъ ва тарҳ
Ҷамъ ва тарҳи ададҳои мураккаб мутаносибан бо ҷамъ ва тарҳ кардани қисмҳои воқеӣ ва хаёлӣ анҷом дода мешаванд. Фарз мекунем, ки мо ду адади мураккаб дорем \(z_1 = a + bi \) ва \(z_2 = c + di \), пас:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – в) + (b – d)i \]
Конто:
Бигзор \(z_1 = 3 + 4i \) ва \(z_2 = 1 + 2i \), пас:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Зарб
Зарби ададҳои мураккаб тақсимотро истифода мебарад, ба монанди алгебра, аммо \(i^2 = -1 \)-ро ба назар мегирад. Фарз мекунем, ки \(z_1 = a + bi \) ва \(z_2 = c + di \), пас:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Конто:
Бигзор \(z_1 = 3 + 4i \) ва \(z_2 = 1 + 2i \), пас:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Тақсимот
Тақсимкунии ададҳои мураккаб бо роҳи зарб кардани сурат ва махраҷ ба пайвандаки махраҷ анҷом дода мешавад. Пайвандаки ададҳои мураккаб \(z = a + bi \) \( \overline{z} = a – bi \) аст.
Фарз мекунем, ки \(z_1 = a + bi \) ва \(z_2 = c + di \), пас:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Зарб бо конъюгати махраҷ:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Конто:
Бигзор \(z_1 = 3 + 4i \) ва \(z_2 = 1 + 2i \), пас:
Пайвастшавӣ \(z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Маълум аст, ки \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} - \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Модулҳо ва далелҳо
Модули адади комплексӣ масофа аз нуқтаи ибтидоӣ дар сатҳи комплексӣ то нуқтае мебошад, ки бо адади комплексӣ ифода меёбад. Модули адади комплексӣ \(z = a + bi \) ҳамчун \( |z| \) ифода карда мешавад ва бо формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Конто:
Агар \(z = 3 + 4i \) бошад, пас:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Аргументи адади комплексӣ кунҷест, ки адади комплексӣ бо меҳвари воқеӣ дар сатҳи комплексӣ ташкил медиҳад ва одатан бо радиан ё дараҷа ифода карда мешавад.
Шакли қутбӣ
Ададҳои мураккабро инчунин метавон дар шакли қутбӣ ифода кард. Ин шакл аксар вақт ҳисобкуниҳоро бо дараҷаҳо ва решаҳои ададҳои мураккаб содда мекунад. Адади мураккабро метавон чунин ифода кард:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
ки дар он \(r \) модул ва \(\theta \) аргументи адади комплекс аст.
Операторҳои дигари мураккаб: экспоненсиалӣ ва логарифмӣ
Табдил додани ададҳои мураккаб ба шакли экспоненсиалӣ бо истифода аз формулаи Эйлер анҷом дода мешавад:
\[ z = re^{i\theta} \]
ки дар он \(e \) асоси логарифми натуралӣ ва \(\theta \) аргументи \(z \) аст.
Баҳодиҳии ададҳои мураккаб дар бисёр амалҳо, махсусан дар таҳлили Фурйе ва табдилоти Лаплас, хеле муфид аст.
Хулоса
Ададҳои мураккаб як абзори асосӣ мебошанд, ки дар ҳалли масъалаҳои гуногуни математика ва илм бениҳоят муфид аст. Аз худ кардани амалҳои асосӣ ба монанди ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим қадами аввалини муҳим аст. Ғайр аз ин, фаҳмидани мафҳумҳои модул, аргумент ва табдил ба шаклҳои қутбӣ ва экспоненсиалӣ қобилияти моро барои омӯхтани татбиқи ададҳои мураккаб дар соҳаҳои гуногун афзоиш медиҳад.
Бо дарк ва татбиқи ададҳои мураккаб, мо метавонем масъалаҳоеро ҳал кунем, ки ҳалли онҳо танҳо бо истифода аз ададҳои воқеӣ душвор ё ҳатто ғайриимкон аст. Ҳамчун як воситаи пуриқтидори таҳлилӣ, ададҳои мураккаб то имрӯз қисми ҷудонашавандаи математика ва татбиқи илмӣ боқӣ мемонанд.
