Назарияи адади аввал
Ададҳои ибтидоӣ яке аз соддатарин ва дар айни замон пурасрортарин объектҳо дар математика мебошанд. Содда аст, зеро таърифи онҳо содда аст: адади ибтидоӣ адади бутунест, ки аз 1 калонтар аст ва танҳо ду тақсимкунандаи мусбат дорад: 1 ва худаш. Пурсишовар аст, зеро сарфи назар аз он ки ҳазорсолаҳо омӯхта шудааст, бисёр саволҳои асосӣ дар бораи ададҳои ибтидоӣ то имрӯз беҷавоб мондаанд. Шохаи математика, ки хосиятҳо, нақшҳо ва тақсимоти ададҳои ибтидоиро меомӯзад, аксар вақт дар назарияи ададҳо баррасӣ мешавад ва ин мавзӯъ ба таври васеъ ҳамчун назарияи ададҳои ибтидоӣ маълум аст.
Таъриф ва мисолҳои рақамҳои аввал
Ададҳои аслӣ бо 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ва ғайра оғоз мешаванд. Аз ин рӯйхат мо мебинем, ки 2 ягона адади аслии ҷуфт аст. Ҳамаи ададҳои ҷуфти дигар ба 2 тақсим мешаванд, аз ин рӯ онҳо зиёда аз ду тақсимкунанда доранд ва онҳоро адади аслӣ номидан мумкин нест.
Муқобили адади аслӣ адади таркибӣ аст, ки адади бутунест, ки аз 1 калонтар аст ва зиёда аз ду тақсимкунанда дорад. Масалан, 4 тақсимкунандагони 1, 2 ва 4 дорад; 12 тақсимкунандагони 1, 2, 3, 4, 6 ва 12 дорад. Рақами 1 на аслӣ ва на таркибӣ аст, зеро он танҳо як тақсимкунанда дорад, 1.
Фаҳмидани ададҳои аслӣ муҳим аст, зеро онҳо аксар вақт ҳамчун "блокҳои сохтмонӣ"-и ададҳои бутун номида мешаванд. Ҳар як адади бутун, ки аз 1 калон аст, метавонад ба зарби ададҳои аслӣ тақсим карда шавад.
Теоремаҳои асосии арифметика
Яке аз натиҷаҳои муҳимтарини назарияи ададҳои ибтидоӣ Теоремаи асосии арифметика мебошад. Ин теорема мегӯяд, ки ҳар як адади бутуни аз 1 калонро метавон ҳамчун зарби ягонаи ададҳои ибтидоӣ, то тартиби омилҳояш, навишт.
Мисол:
– 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
– 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Ин беназирии омилкунонии ибтидоӣ асоси бисёр мафҳумҳои риёзӣ, аз тақсим, зарби камтарини умумӣ (LCM), омили умумии калонтарин (GCF) то алгоритмҳои гуногун дар илми компютерӣ мебошад.
Чӣ тавр рақамҳои аввалро муайян кардан мумкин аст
Барои муайян кардани он, ки оё адад аслӣ аст, якчанд усулҳо мавҷуданд. Усули аз ҳама асосӣ ин санҷидани он аст, ки оё адад ба ягон адади дигар ба ғайр аз 1 ва худаш тақсим мешавад. Аммо, ин усул барои ададҳои калон бесамар аст.
Усули муассиртар санҷиши тақсимкунандагон то решаи квадратии адад мебошад. Агар адади n ғайр аз 1 ва n омилҳои дигар дошта бошад, пас ҳадди аққал яке аз омилҳо аз √n зиёд намешавад. Масалан, барои санҷидани он, ки оё адади 97 адади аввала аст, танҳо онро барои тақсимшавӣ ба ададҳои аввала ≤ √97 (тақрибан 9,8), яъне 2, 3, 5 ва 7 санҷед. Азбаски адади 97 ба ҳеҷ яке аз ин чор адади аввала тақсим намешавад, он адади аввала аст.
Илова бар ин, усулҳои классикӣ ба монанди Ҷелки Эратосфен мавҷуданд, ки барои ёфтани ҳамаи ададҳои аслӣ то ҳадди муайян самаранок мебошанд. Ин усул номбар кардани ҳамаи ададҳоро аз 2 то N, сипас қайд кардани зарбҳои 2, зарбҳои 3, зарбҳои 5 ва ғайраро дар бар мегирад. Ададҳои қайднашуда адади аслӣ мебошанд.
Нақшҳо ва тақсимоти ададҳои ибтидоӣ
Яке аз чизҳое, ки ададҳои аслиро ҷолиб мегардонад, тақсимоти зоҳиран тасодуфии онҳост. Ҳеҷ як намунаи оддӣ вуҷуд надорад, ки ҳамаи ададҳои аслиро фавран ба вуҷуд орад. Баъзан ададҳои аслӣ ба ҳам наздик пайдо мешаванд, ба монанди 11 ва 13, ё 17 ва 19, аммо дар он сурат масофаи байни онҳо метавонад калонтар шавад.
Як саволи муҳим дар назарияи ададҳои ибтидоӣ ин аст: "Ададҳои ибтидоӣ чанд маротиба пайдо мешаванд?" Барои посух додан ба ин, риёзидонон теоремаи адади ибтидоиро таҳия карданд. Ин теорема мегӯяд, ки шумораи ададҳои ибтидоӣ, ки камтар ё баробар ба n мебошанд, ки бо π(n) навишта мешаванд, тақрибан ба n / ln(n) баробар аст. Ин маънои онро дорад, ки бо афзоиши n, ададҳои ибтидоӣ камёбтар мешаванд, аммо онҳо то абад пайдо мешаванд.
Масалан, барои n-и хеле калон, эҳтимолияти аслӣ будани адади тасодуфӣ дар атрофи n тақрибан 1/ln(n) аст. Ин шарҳи омории тақсимоти ададҳои аслиро пешниҳод мекунад.
Рақамҳои дугонаи аввал ва фарзияҳои машҳур
Дугоникҳои оддӣ ҷуфтҳои ададҳои оддӣ мебошанд, ки фарқи онҳо 2 аст, ба монанди (3, 5), (11, 13), (17, 19) ва ғайра. Як саволи асосие, ки имрӯз ҳам кушода боқӣ мемонад, ин тахмини Дугоникҳои оддӣ аст: "Оё ҷуфтҳои дугоникҳои оддӣ беохир зиёданд?" Бо вуҷуди далелҳои зиёди тасдиқкунанда ва пешрафтҳои назаррас дар даҳсолаҳои охир, ин тахмин пурра исбот нашудааст.
Илова бар ин, фарзияи Голдбах низ вуҷуд дорад, ки мегӯяд ҳар як адади ҷуфт, ки аз 2 калон аст, метавонад ҳамчун ҷамъи ду адади асосӣ навишта шавад. Масалан:
– 10 = 3 + 7
– 28 = 11 + 17
– 100 = 47 + 53
Ин фарзия барои рақамҳои хеле калон санҷида шудааст ва дар ин санҷишҳо ҳамеша дуруст аст, аммо то ҳол далели пурраи расмӣ вуҷуд надорад.
Нақши ададҳои ибтидоӣ дар криптографияи муосир
Ғайр аз математикаи холис, ададҳои аслӣ дар ҳаёти муосир, бахусус дар амнияти иттилоот, нақши муҳим мебозанд. Криптосистемаи RSA, ки яке аз маъруфтарин усулҳои рамзгузорӣ аст, ба душвории табдил додани ададҳои калон ба омилҳои аслӣ такя мекунад. Дар RSA, калиди оммавӣ метавонад аз зарби ду адади аслии калон тавлид шавад. Кам кардани ин зарб ба ду адади аслии он як мушкили хеле душвор аст, агар ададҳо ба қадри кофӣ калон бошанд ва бо ин васила замина барои амният фароҳам оварад.
Ба ибораи дигар, зебоии ададҳои асосӣ на танҳо назариявӣ, балки амалӣ низ мебошад, зеро онҳо ба нигоҳ доштани амнияти муомилоти рақамӣ, муоширати рамзгузоришуда ва мубодилаи маълумоти махфӣ дар интернет мусоидат мекунанд.
Penutup
Назарияи ададҳои ибтидоӣ яке аз ғанӣтарин соҳаҳои математика аст. Аз таърифи оддии адади ибтидоӣ, мо ба мафҳумҳои амиқе ба монанди омилкунонии беназир, теоремаи тақсимоти ибтидоӣ ва ҳатто тахминҳои ҳалношуда мерасем. Ададҳои ибтидоӣ моро то ҳол ба худ ҷалб мекунанд, зеро онҳо дар марзи байни тартиб ва тасодуфӣ қарор доранд: ба назар чунин мерасад, ки бенамунавӣ, вале ба қонунҳои амиқи математикӣ итоат мекунанд.
Омӯзиши ададҳои асосӣ на танҳо фаҳмидани он аст, ки кадом ададҳо оддӣ ҳастанд ва кадоме не, балки инчунин фаҳмидани он аст, ки чӣ гуна онҳо дар байни ададҳои бутун "тақсим шудаанд", чаро онҳо чунин нақши асосӣ мебозанд ва чӣ гуна онҳо ба технологияи муосир таъсир мерасонанд. Аз ин рӯ, назарияи ададҳои асосӣ то имрӯз яке аз мавзӯъҳои фаъолона таҳқиқшуда ва ҷолибтарин барои донишҷӯёни математика, муаллимон ва муҳаққиқон боқӣ мемонад.
