Формулаҳо ва мисолҳои ларзиши гармоникӣ
Лабзиши гармоникӣ мавзӯи калидӣ дар физика буда, аксар вақт дар баҳсҳо дар бораи ҳаракати даврӣ, мавҷҳо ва татбиқи муҳандисӣ пайдо мешавад. Мо онро дар ҳаракати пружинаҳо, маятникҳо (барои кунҷҳои хурд) ва ҳатто ларзиши молекулаҳо дар модда пайдо карда метавонем. Онро "гармоникӣ" меноманд, зеро ҳаракати он аз рӯи як намунаи муқаррарӣ амал мекунад ва онро бо функсияҳои синус ё косинус модел кардан мумкин аст. Дар ин мақола таърифи мухтасар, формулаҳои асосӣ ва мисолҳои масъалаҳо бо роҳҳои ҳалли онҳо баррасӣ мешавад, ки ба мо дар фаҳмидани мафҳуми ларзиши гармоникӣ кӯмак мекунанд.
1. Фаҳмидани ларзишҳои гармоникӣ
Лаблабуи оддии гармонӣ (SHM) ҳаракати пешу паси объектест, ки аз нуқтаи мувозинат бо қувваи барқароркунанда мегузарад, ки бузургии он ба ҷойивазкунӣ мутаносиб аст ва самти он ҳамеша ба сӯи нуқтаи мувозинат аст. Аз ҷиҳати математикӣ, хусусиятҳои онро чунин навиштан мумкин аст:
F = −kx
Аломати минус нишон медиҳад, ки самти қувва муқобили самти инҳироф аст. Агар объект ба тарафи рост (x мусбат) кашида шавад, қувваи барқароркунанда ба тарафи чап (манфӣ) ва баръакс аст.
Ду системае, ки аксар вақт ҳамчун мисолҳои GHS зикр мешаванд, инҳоянд:
1. Системаи пружинӣ-оммавӣ (омма дар охири пружинӣ).
2. Маятники оддӣ (барои кунҷҳои хурд, одатан < 15°). 2. Миқдорҳои муҳим дар ларзиши гармоникӣ Баъзе бузургиҳое, ки ҳамеша дар GHS пайдо мешаванд: - Инҳироф (x): масофаи объект аз нуқтаи мувозинат (m). - Амплитуда (A): инҳирофи ҳадди аксар (m). - Давра (T): вақти зарурӣ барои як ларзиши пурра (s). - Басомад (f): шумораи ларзишҳо дар як сония (Hz). - Суръати кунҷӣ / басомади кунҷӣ (ω): параметри муҳим дар муодилаи синус/косинус (rad/s). - Фаза (φ): шароити ибтидоии ҳаракатро муайян мекунад. Робитаи асосии байни давра ва басомад: f = 1/T Ва робитаи ω бо T ва f: ω = 2πf = 2π/T 3. Муодилаи ларзиши гармоникӣ Шакли умумии инҳироф ҳамчун функсияи вақтро чунин навиштан мумкин аст: x(t) = A sin(ωt + φ) ё x(t) = A cos(ωt + φ)
Интихоби sin/cos низ ба ҳамин андоза дуруст аст, вобаста ба шароити ибтидоӣ (масалан, дар t = 0, мавқеъ дар амплитуда ё дар нуқтаи мувозинат аст). Суръат ва шитоб Суръат ҳосилаи аввали ҷойивазкунӣ аст: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (агар x = A sin) ё метавонад мувофиқи шакли ибтидоӣ манфӣ бошад. Шитоб ҳосилаи дуюм аст: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) Азбаски x(t) = A sin(ωt + φ), пас: a(t) = −ω² x(t) Ин хосияти калидии GHS аст: шитоб ба ҷойивазкунӣ мутаносиб ва дар самти муқобил аст. Суръати максималӣ ва шитоби максималӣ - v_max = Aω - a_max = Aω² Суръати максималӣ вақте ба амал меояд, ки объект аз нуқтаи мувозинат (x = 0) мегузарад. Шитоби максималӣ вақте ба амал меояд, ки дар амплитуда (x = ±A) бошад. 4. Давраи ларзиш дар пружинаҳо ва маятникҳо A. Пружинаи масса Барои пружинаи идеалӣ бо доимии пружинаи k ва массаи m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Ин маънои онро дорад, ки ҳар қадар масса калонтар бошад, давр ҳамон қадар калонтар аст (сусттар). Ҳар қадар k калонтар бошад (пружинаи сахттар), давр ҳамон қадар хурдтар аст (тезтар). B. Маятники оддӣ (кунҷи хурд) Барои маятник бо дарозии ресмон L ва шитоби ҷозиба g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Ҷолиб он аст, ки дар тақриби кунҷи хурд, давр аз массаи маятник вобаста нест, он танҳо аз дарозӣ ва ҷозиба вобаста аст. 5. Энергия дар ларзиши гармоникӣ Дар GHS, энергияи умумӣ доимӣ мемонад (агар соиш вуҷуд надошта бошад): - Энергияи потенсиалии пружинӣ: Ep = ½ kx² - Энергияи кинетикӣ: Ek = ½ mv² - Энергияи механикии умумӣ: E = Ek + Ep = ½ kA² Вақте ки x = ±A, v = 0 аст, пас энергия пурра потенсиал аст. Вақте ки x = 0 аст, Ep = 0 ва энергия пурра кинетикӣ аст. 6. Саволҳои намунавӣ ва муҳокима Мисоли 1: Муайян кардани давраи пружинӣ Массаи 0,5 кг ба пружинаи дорои k = 200 Н/м овезон карда шудааст. Давраи ларзишро муайян кунед! Дода шудааст: m = 0,5 кг, k = 200 Н/м Пурсида шуд: T Ҷавоб: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π с ≈ 0,314 с
Пас, давраи ларзиши пружинӣ тақрибан 0,314 сония аст. --- Мисоли 2: Муайян кардани басомад ва ω Аз саволи 1, басомад (f) ва ω-ро муайян кунед! Ҷавоб: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Гц ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 рад/с (ё мустақиман ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 рад/с) Пас, басомад тақрибан 3,18 Гц ва ω = 20 рад/с аст. --- Мисоли 3: Муодилаи инҳирофӣ Ҷисм бо амплитудаи 0,10 м ва ω = 5 рад/с ба таври ҳамоҳанг ларзиш мекунад. Дар t = 0, ҷисм дар нуқтаи мувозинат қарор дорад ва дар самти мусбат ҳаракат мекунад. Муодилаи инҳирофро муайян кунед! Берун оварда шудааст: A = 0,10 м, ω = 5 рад/с Шартҳои ибтидоӣ: t = 0 → x = 0 ва v ибтидоӣ мусбат аст. Агар x(0) = 0 бошад, шакли мувофиқ синус аст: x(t) = A sin(ωt) Азбаски v(t) = Aω cos(ωt), пас v(0) = Aω cos(0) = Aω мутаносибан мусбат аст. Ҳамин тариқ: x(t) = 0,10 sin(5t) (метр) --- Мисоли 4: Суръати максималӣ ва шитоби максималӣ Аз мисоли 3, v_max ва a_max-ро муайян кунед. Ҷавоб: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 м/с a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 м/с² Пас, v_max = 0,50 м/с ва a_max = 2,5 м/с². --- Мисоли 5: Энергия дар пружинаи Пружинаи дорои k = 100 Н/м бо амплитудаи A = 0,20 м ларзиш мекунад. Энергияи умумии механикии онро ҳисоб кунед! Ҷавоб: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J Энергияи умумии механикии ларзиш 2 ҷоул аст. --- Мисоли 6: Даври маятник Маятни оддӣ 1 м дарозӣ дорад. Агар g = 10 м/с² бошад, давраи онро муайян кунед. Ҷавоб: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 с Пас, давраи маятник тақрибан 2,0 сония аст. 7. Хулоса Ларзиши оддии гармоникӣ як ҳаракати даврии хеле асосӣ дар физика аст. Калиди дарки он дар робитаи байни қувваи барқароркунанда, ки ба ҷойивазкунӣ (F = −kx) мутаносиб аст, инчунин модели математикии он, ки функсияи синус/косинусро пайгирӣ мекунад, мебошад. Бо фаҳмидани формулаи даврӣ барои пружинаҳо ва маятникҳо, муодилаҳои ҷойивазкунӣ-суръат-шитоб ва мафҳуми энергия, барои шумо кор кардан дар масъалаҳои марбут ба ларзишҳо ва мавҷҳо осонтар хоҳад буд.
Агар шумо хоҳед, ман метавонам саволҳои иловагии машқӣ илова кунам (бе муҳокимаи аввал) ё версияи ҷамъбасти формулаҳоро барои имтиҳон омода созам.
