Векторҳо дар физика як мафҳуми муҳим мебошанд, ки барои ифодаи миқдорҳо ҳам бо самт ва ҳам бо бузургӣ истифода мешаванд. Дар физика, векторҳо аксар вақт барои тавсифи падидаҳои гуногун, аз қабили қувва, суръат, шитоб ва ғайра истифода мешаванд. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъалаҳои вектории физика, дар баробари ҳалли онҳо ва шарҳҳо баррасӣ карда мешаванд.
1. Ҷамъ ва тарҳи векторӣ
Намунаи саволи 1:
Ду вектори \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) чунин дода шудаанд:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Ҳисоб кунед:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
Ҳалли масъала:
Барои илова кардани ду вектор, мо ҷузъҳои онҳоро алоҳида ҷамъ мекунем.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} - \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) - (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 - (-2)) \ mathbf {i} + (4 - 5) \ mathbf {j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Пас, натиҷа чунин аст:
\[
\mathbf{A} - \mathbf{B} = 5\mathbf{i} - \mathbf{j}
\]
2. Зарби скалярӣ (Ҳосили нуқтаӣ)
Намунаи саволи 2:
Ду вектори \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\) чунин дода шудаанд:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Ҳосили скалярии (ҳосили нуқтавӣ)-и \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\)-ро ҳисоб кунед.
Ҳалли масъала:
Ҳосили скалярии ду вектори \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\) чунин аст:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Пас, натиҷаи ҳосили скалярии \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\) ба 26 баробар аст.
3. Маҳсулоти байниҳамдигарӣ
Намунаи саволи 3:
Ду вектори \(\mathbf{E}\) ва \(\mathbf{F}\) чунин дода шудаанд:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Ҳосили байни \(\mathbf{E}\) ва \(\mathbf{F}\)-ро ҳисоб кунед.
Ҳалли масъала:
Ҳосили байни ду вектори \(\mathbf{E}\) ва \(\mathbf{F}\)-ро бо истифода аз детерминанти матритсавӣ ҳисоб кардан мумкин аст:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \оғоз{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 ва 2 ва 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
\]
Муайянкунандаи матритсаро ҳисоб кунед:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j} (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 - 2 \cdot)
\]
\[
= \mathbf{i} (12 - 15) - \mathbf{j} (6 - 12) + \mathbf{k} (5 - 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) - \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Пас, натиҷаи ҳосили байни \(\mathbf{E}\) ва \(\mathbf{F}\) чунин аст:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
\]
4. Андозаи векторӣ
Намунаи саволи 4:
Вектори \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\ дода шудааст. Андозаи (дарозӣ) вектори \(\mathbf{G}\)-ро ҳисоб кунед.
Ҳалли масъала:
Андозаи вектори \(\mathbf{G}\)-ро бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб кардан мумкин аст:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Пас, бузургии вектори \(\mathbf{G}\) ба 5 баробар аст.
5. Қарори векторӣ
Намунаи саволи 5:
Вектори \(\mathbf{H}\) бузургии 10 воҳид дорад ва бо меҳвари x кунҷи 30° ташкил медиҳад. Ҷузъҳои вектори \(\mathbf{H}\)-ро дар меҳварҳои x ва y муайян кунед.
Ҳалли масъала:
Ҷузъҳои вектори \(\mathbf{H}\) дар меҳварҳои x (\(\mathbf{H}_x\)) ва y (\(\mathbf{H}_y\))-ро бо истифода аз тригонометрия ҳисоб кардан мумкин аст:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \син(\тета)
\]
Бо \(|\mathbf{H}| = 10\) ва \(\theta = 30°\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]
Арзишҳои \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ва \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Пас, ҷузъҳои вектори \(\mathbf{H}\) инҳоянд:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Хулоса
Дар ин мақола, мо якчанд масъалаҳои намунавии марбут ба векторҳоро дар физика баррасӣ кардем, аз ҷамъ ва тарҳи векторҳо, зарби скалярӣ ва салибӣ то бузургӣ ва ҳалли векторҳо. Дарки мафҳум ва кори векторҳо дар физика муҳим аст, зеро бисёр падидаҳои табииро бо истифода аз векторҳо шарҳ додан мумкин аст. Умедворем, ки ин масъалаҳои намунавӣ ба шумо дар фаҳмидани амиқтари мафҳуми векторҳо кӯмак мекунанд.
