Намунаи саволи баҳсӣ дар бораи вектори воҳидии вектор
Пендахулуан
Дар математика ва физика, векторҳо унсурҳои асосӣ мебошанд, ки бузургӣ ва самтро ифода мекунанд. Векторҳо аксар вақт барои тавсифи падидаҳои гуногун, аз қабили суръат, қувва ва ҷойивазкунӣ дар фазои ду ё сеченака истифода мешаванд. Як мафҳуми муҳими марбут ба векторҳо вектори воҳидӣ мебошад. Дар ин мақола таърифи вектори воҳидӣ, чӣ гуна ҳисоб кардани он баррасӣ мешавад ва якчанд мисолҳои масъалаҳо ва ҳалли онҳо пешниҳод карда мешаванд.
Фаҳмидани векторҳои воҳидӣ
Вектори воҳидӣ векторест, ки бузургии он як воҳид ва самти он бо вектори аслӣ якхела аст. Векторҳои воҳидӣ аксар вақт барои содда кардани таҳлил истифода мешаванд, зеро бузургии онҳо ҳамеша як аст ва имкон медиҳад, ки диққати асосӣ ба самти онҳо равона карда шавад. Барои табдил додани вектор ба вектори воҳидӣ, мо бояд ҳар як ҷузъи онро ба бузургии вектор тақсим кунем.
Аз нигоҳи математикӣ, агар \( \mathbf{v} \) вектор бошад, пас вектори воҳидии он \( \mathbf{\hat{v}} \)-ро чунин ифода кардан мумкин аст:
\[
\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
\]
ки дар он \( \|\mathbf{v}\| \) бузургӣ ё дарозии вектор \( \mathbf{v} \) аст.
Ҳисоб кардани андозаи векторӣ
Бузургии вектори \( \mathbf{v} \) дар фазои дученака бо ҷузъҳои \( (v_x, v_y) \) бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Дар айни замон, барои векторҳо дар фазои сеченака бо ҷузъҳои \( (v_x, v_y, v_z) \), бузургӣ бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Барои равшан кардани мафҳуми векторҳои воҳидӣ, биёед ба баъзе саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо назар андозем.
Намунаи саволи 1
Савол: Вектори додашуда \( \mathbf{a} = (3, 4) \). Вектори воҳидии вектори \( \mathbf{a} \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Компонентҳои вектори \( \mathbf{a} \)-ро муайян кунед:
\( a_x = 3 \), \( a_y = 4 \)
2. Бузургии вектори \( \mathbf{a} \)-ро ҳисоб кунед:
\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Вектори воҳидиро бо тақсим кардани ҳар як ҷузъи вектори \( \mathbf{a} \) ба бузургии он ҳисоб кунед:
\[
\mathbf{\hat{a}} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = \left(0.6, 0.8 \right)
\]
Пас, вектори воҳидии \( \mathbf{a} \) \( (0.6, 0.8) \) аст.
Намунаи саволи 2
Савол: Вектори додашуда \( \mathbf{b} = (1, -2, 2) \). Вектори воҳидии вектори \( \mathbf{b} \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Компонентҳои вектори \( \mathbf{b} \)-ро муайян кунед:
\( b_x = 1 \), \( b_y = -2 \), \( b_z = 2 \)
2. Бузургии вектори \( \mathbf{b} \)-ро ҳисоб кунед:
\[
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
3. Вектори воҳидиро бо тақсим кардани ҳар як ҷузъи вектори \( \mathbf{b} \) ба бузургии он ҳисоб кунед:
\[
\mathbf{\hat{b}} = \left( \frac{1}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{2}{3} \right) \approx \left( 0.333, -0.667, 0.667 \right)
\]
Пас, вектори воҳидии \( \mathbf{b} \) ин аст \( \left( 0.333, -0.667, 0.667 \right) \).
Намунаи саволи 3
Савол: Вектори додашуда \( \mathbf{c} = (-7, 24) \). Вектори воҳидии вектори \( \mathbf{c} \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Компонентҳои вектори \( \mathbf{c} \)-ро муайян кунед:
\( c_x = -7 \), \( c_y = 24 \)
2. Бузургии вектори \( \mathbf{c} \)-ро ҳисоб кунед:
\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25
\]
3. Вектори воҳидиро бо тақсим кардани ҳар як ҷузъи вектори \( \mathbf{c} \) ба бузургии он ҳисоб кунед:
\[
\mathbf{\hat{c}} = \left( \frac{-7}{25}, \frac{24}{25} \right) = \left(-0.28, 0.96 \right)
\]
Пас, вектори воҳидии \( \mathbf{c} \) \( (-0.28, 0.96) \) аст.
Намунаи саволи 4
Савол: Агар вектори \( \mathbf{d} = (6, 8, 0) \) бошад, вектори воҳидии вектори \( \mathbf{d} \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Компонентҳои вектори \( \mathbf{d} \)-ро муайян кунед:
\( d_x = 6 \), \( d_y = 8 \), \( d_z = 0 \)
2. Андозаи вектори \( \mathbf{d} \)-ро ҳисоб кунед:
\[
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10
\]
3. Вектори воҳидиро бо тақсим кардани ҳар як ҷузъи вектори \( \mathbf{d} \) ба бузургии он ҳисоб кунед:
\[
\mathbf{\hat{d}} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10}, \frac{0}{10} \right) = \left(0.6, 0.8, 0 \right)
\]
Пас, вектори воҳидии \( \mathbf{d} \) \( (0.6, 0.8, 0) \) аст.
Penutup
Тавассути муҳокима ва мисолҳои дар боло овардашуда, мо метавонем дарк кунем, ки ҳисоб кардани вектори воҳидӣ ҳисоб кардани бузургии вектор ва сипас тақсим кардани ҷузъҳои вектор ба ин бузургӣро талаб мекунад. Векторҳои воҳидӣ дар барномаҳои гуногун, аз қабили ба эътидол овардани векторҳо дар графикаи компютерӣ, таҳлили қувва дар физика ва бисёр соҳаҳои дигар хеле муфиданд. Бо дарки ин мафҳум, мо бояд тавонем масъалаҳои марбут ба векторҳоро осонтар ҳал кунем.
