Намунаи масъалаҳо дар бораи векторҳои баръакс
Вектор як объекти математикӣ аст, ки ҳам бузургӣ ва ҳам самт дорад. Дар омӯзиши векторҳо, мо аксар вақт бо векторҳое дучор мешавем, ки хосиятҳои мушаххас доранд. Як мафҳуми асосӣ дар векторҳо вектори баръакс ё вектори манфӣ мебошад. Дар ин мақола мисолҳо ва муҳокимаи векторҳои баръакс баррасӣ карда мешаванд.
Фаҳмидани векторҳои баръакс
Вектори баръакс, ки аксар вақт вектори манфӣ номида мешавад, векторест, ки андозаи вектори аслӣ якхела, вале самти муқобил дорад. Агар вектор бо \(\vec{a}\) ишора карда шавад, пас вектори баръакси он \(-\vec{a}\) аст. Аз нигоҳи математикӣ, агар \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), пас \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Намунаи саволи 1
Вектори \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) дода шудааст. Вектори баръакси \(\vec{a}\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои муайян кардани вектори баръакси \(\vec{a}\), мо танҳо бояд ҳар як ҷузъи вектори онро ба манфӣ иваз кунем:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Пас, вектори баръакси \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) ин аст \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
Намунаи саволи 2
Бигзор вектори \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). Вектори баръакси \(\vec{b}\)-ро ёбед ва тасдиқ кунед, ки \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Муҳокима:
Аввалан, мо вектори баръакси \(\vec{b}\)-ро муайян мекунем:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Сипас, мо тасдиқ мекунем, ки ҷамъи вектори \(\vec{b}\) ва вектори баръакси он ба вектори сифр оварда мерасонад:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Мо ҷузъҳои векторро ҷамъ мекунем:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Пас, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), исбот шудааст, ки натиҷаи ҷамъи вектори \(\vec{b}\) ва вектори баръакси он вектори сифр аст.
Намунаи саволи 3
Бо назардошти векторҳои \(\vec{u} = (2, -1)\) ва \(\vec{v} = (-2, 1)\). Оё \(\vec{u}\) вектори баръакси \(\vec{v}\) аст?
Муҳокима:
Барои муайян кардани он, ки оё \(\vec{u}\) ва \(\vec{v}\) векторҳои баръакс мебошанд, мо бояд санҷем, ки оё \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Ҳисоб кунед \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Маълум мешавад, ки \(-\vec{u} = \vec{v}), ин маънои онро дорад, ки вектори \(\vec{u}) дар ҳақиқат вектори баръакси вектори \(\vec{v}) аст.
Намунаи саволи 4
Агар маълум бошад, ки вектори \(\vec{w}\) бузургии 5 ва самти муқобили вектори \(\vec{p} = (4, 3)\) дорад, \(\vec{w}\)-ро дар шакли компонентӣ муайян кунед.
Муҳокима:
Аввалан, мо бузургии вектори \(\vec{p}\)-ро меёбем:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Азбаски \(\vec{w}\) андозаи якхела бо \(\vec{p}\) дорад, аммо самти муқобил, пас:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Пас, вектори \(\vec{w}\) дар шакли компонентӣ \(\vec{w} = (-4, -3)\) аст.
Намунаи саволи 5
Нуқтаи A(2, 3) ва нуқтаи B(4, 7) дода шудааст. Вектори мавқеъро аз нуқтаи A то нуқтаи B ва вектореро, ки муқобили он вектор аст, муайян кунед.
Муҳокима:
Вектори мавқеъ аз нуқтаи A ба нуқтаи B:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Вектори баръакси \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Пас, векторе, ки ба вектори мавқеъ баръакс аст \(\vec{AB} = (2, 4)\) \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) аст.
Намунаи саволи 6
Вектори \(\vec{m} = (x, y)\) дода шудааст ва вектори баръакси \(\vec{m}\) \( (-5, 12)\) аст. Қиматҳои x ва y-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Вектори баръакси \(\vec{m}\) \( (-x, -y) \) аст ва мувофиқи масъала, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Бо муқоисаи ҷузъҳои векторӣ, мо ба даст меорем:
\[
-x = -5 \маънои онро дорад, ки x = 5 аст
\]
\[
-y = 12 маънои онро дорад, ки y = -12
\]
Пас, қимати \(x\) ба 5 ва қимати \(y\) ба -12 баробар аст.
Хулоса
Векторҳои баръакс векторҳое мебошанд, ки бузургии якхела доранд, вале самти муқобил доранд. Бо дарки мафҳуми векторҳои баръакс, мо метавонем масъалаҳои гуногуни марбут ба векторҳоро ҳал кунем, ба монанди муайян кардани манфии вектор, тасдиқи ҷамъ кардани векторҳо ба сифр ва ғайра. Интизор меравад, ки муҳокимаи масъалаҳои намунавии дар боло овардашуда дониш ва фаҳмиши моро дар бораи кор бо векторҳои баръакс афзоиш диҳад.
