Намунаҳои саволҳо дар бораи табдилдиҳӣ дар сатҳи декартӣ
Табдилдиҳӣ дар сатҳи декартӣ мавзӯи муҳим дар математика, бахусус геометрия мебошад. Ин табдилдиҳӣ амалиётҳои гуногунро дар бар мегирад, ба монанди тарҷума, инъикос, гардиш ва васеъкунӣ, ки ҳадафи онҳо ҳаракат ё тағир додани шакли объект дар сатҳи дученака мебошад. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъала баррасӣ ва муҳокимаи онҳо дар бораи табдилдиҳӣ дар сатҳи декартӣ оварда шудаанд.
Намудҳои табдилдиҳӣ
Пеш аз он ки ба масъалаи мисолӣ гузарем, аввал намудҳои зерини табдилдиҳиро баррасӣ мекунем:
1. Тарҷума (Басти корӣ)
Транслятсия ин ҳаракати нуқта ё ашё дар як сатҳ ба масофаи муайян ба самти муайян аст. Транслятсияро метавон чунин муайян кард:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
ки дар он \(a\) ва \(b\) масофаҳои ҷойивазкунии уфуқӣ ва амудӣ мебошанд.
2. Мулоҳиза
Инъикос инъикоси нуқта ё ашё дар меҳвар аст, хоҳ дар меҳвари x, хоҳ дар меҳвари y ё хати дигар. Масалан, инъикос дар меҳвари x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Гардиш (Чархиш)
Гардиш гардиши нуқта ё ашё дар атрофи нуқтаи марказӣ бо кунҷи муайян аст. Гардиши муқобили ақрабаки соат бо кунҷи \(\тета\) метавонад чунин ифода карда шавад:
\[
(x, y) \ тирчаи рост (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Васеъкунӣ (масштаббандӣ)
Васеъшавӣ (дилятсия) тағйирёбии андозаи объект аз ҷониби омили муайяни миқёс аст. Агар омили миқёс \(k\) бошад, васеъшавиро чунин ифода кардан мумкин аст:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1: Тарҷума
Савол:
Дар нуқтаи \(A(2, 3)\) бо интиқоли 5 воҳид ба тарафи рост ва 4 воҳид ба боло тарҷумаро иҷро кунед.
Муҳокима:
Тарҷумаи воҳидҳои \(5\) ба тарафи рост маънои зиёд кардани координатаи x-ро ба андозаи \(5\) дорад. Ибораи "4 воҳид боло" маънои зиёд кардани координатаи y-ро ба андозаи \(4\) дорад. Натиҷаи тарҷума чунин аст:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Пас, нуқтаи \(A(2, 3)\) пас аз тарҷума чунин мешавад:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Пас, нуқтаи \(A(2, 3)\) пас аз тарҷума \(A'(7, 7)\) аст.
Саволи 2: Мулоҳиза
Савол:
Нуқтаи \(B(-4, 7)\)-ро дар атрофи меҳвари y инъикос кунед.
Муҳокима:
Инъикос дар бораи меҳвари y координатаи x-ро ба манфии координатаи аслии x тағйир медиҳад, дар ҳоле ки координатаи y бетағйир боқӣ мемонад.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Пас, нуқтаи \(B(-4, 7)\) пас аз инъикос чунин мешавад:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Пас, нуқтаи \(B(-4, 7)\) пас аз инъикос дар бораи меҳвари y \(B'(4, 7)\) аст.
Саволи 3: Гардиши ҳаракат
Савол:
Нуқтаи \(C(1, 2)\)-ро ба \(90^\circ\) баръакси самти ақрабаки соат бо марказ дар нуқтаи ибтидоии \((0, 0)\) гардонед.
Муҳокима:
Гардиши гардиши (90^\circ\) баръакси самти ақрабаки соатро чунин ифода кардан мумкин аст:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Пас, нуқтаи \(C(1, 2)\) пас аз гардиш чунин мешавад:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Пас, нуқтаи \(C(1, 2)\) пас аз гардиши \(90^\circ\) баръакси самти ақрабаки соат \(C'(-2, 1)\) аст.
Саволи 4: Васеъкунӣ
Савол:
Нуқтаи \(D(3, 4)\)-ро бо омили миқёс \(k = 2\) васеъ кунед.
Муҳокима:
Васеъкунӣ бо омили миқёси \(2\) маънои зарб кардани ҳарду координатаро ба \(2\) дорад.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Пас, нуқтаи \(D(3, 4)\) пас аз васеъшавӣ чунин мешавад:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Пас, нуқтаи \(D(3, 4)\) пас аз васеъкунӣ бо омили миқёс \(2\) \(D'(6, 8)\) аст.
Саволи 5: Омезиши табдилот
Савол:
Дар бораи меҳвари x фикр кунед ва сипас бо истифода аз омили миқёс \(k = 0.5\) дар нуқтаи \(E(8, -6)\) васеъ кунед.
Муҳокима:
Қадами аввал ин андеша кардан дар бораи меҳвари x аст:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Қадами дуюм ин анҷом додани васеъкунӣ бо омили миқёси \(0.5\) мебошад:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Пас, нуқтаи \(E(8, -6)\) пас аз инъикос дар бораи меҳвари x ва васеъшавӣ аз рӯи омили миқёс \(0.5\) \(E'(4, 3)\) аст.
Саволи 6: Табдилдиҳӣ бо гардиш ва тарҷума
Савол:
Нуқтаи \(F(-3, 4)\)-ро ба \(180^\circ\) баръакси самти ақрабаки соат гардонед, сипас натиҷаро бо вектори \((2, -1)\) тарҷума кунед.
Муҳокима:
Қадами аввал ин гардиш кардан ба андозаи \(180^\circ\) баръакси самти ақрабаки соат аст:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Қадами дуюм ин иҷро кардани тарҷума бо вектори \((2, -1)\) мебошад:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Пас, нуқтаи \(F(-3, 4)\) пас аз гардиши \(180^\circ\) ва интиқол аз рӯи вектори \((2, -1)\) \(F'(5, -5)\) аст.
Хулоса
Табдилдиҳӣ дар сатҳи декартӣ як мафҳуми муҳим дар геометрия буда, амалиётҳои гуногунро ба монанди тарҷума, инъикос, гардиш ва васеъкуниро дар бар мегирад. Бо фаҳмидани тарзи кори ҳар як намуди табдилдиҳӣ, мо метавонем ба осонӣ мавқеъ ё шакли объектро дар сатҳи ҳамворӣ тағйир диҳем. Тавассути мисолҳои дар боло овардашуда, мо метавонем татбиқи амалии табдилдиҳии гуногун ва чӣ гуна онҳоро барои ба даст овардани табдилоти мураккабтар якҷоя кардан мумкин аст, бубинем. Умедворем, ки ин мақола дар фаҳмидани табдилдиҳӣ дар сатҳи декартӣ муфид буд.
