Намунаҳои саволҳо дар бораи теоремаи асосии ҳисоб
Ҳисобкунии ададӣ як соҳаи муҳими математика аст, ки мафҳумҳои ҳудудҳо, ҳосилаҳо ва интегралҳоро дар бар мегирад. Теоремаи асосии ҳисобкунӣ (FDTC) яке аз теоремаҳои бунёдӣ аст, ки ин мафҳумҳоро ба ҳам мепайвандад. Дар ин мақола, мо таъриф ва татбиқи Теоремаи асосии ҳисобкуниро тавассути як қатор масъалаҳои мисолӣ ва муҳокимаҳо меомӯзем.
Фаҳмидани теоремаи асосии ҳисоб
Теоремаи асосии ҳисобкунӣ аз ду қисмати асосӣ иборат аст:
1. Қисми якум: Агар \( f \) функсияи пайваста дар фосилаи \([a, b] \) бошад ва \( F \) антиҳосилаи \( f \) дар он фосила бошад, пас:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
2. Қисми дуюм: Агар \( f \) функсияи пайваста дар фосилаи \([a, b] \) бошад ва мо функсияи \( F \)-ро бо ин роҳ муайян мекунем:
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
пас \(F\) антиҳосилаи \(f\) аст, яъне:
\[ F'(x) = f(x) \]
Пас аз фаҳмидани мафҳуми асосӣ, биёед мустақиман ба баъзе саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо барои равшан кардани татбиқи Теоремаи асосии ҳисобкунӣ гузарем.
Намунаҳои саволҳои баҳсӣ
Масъалаи мисолӣ 1: Истифодаи қисми аввали теоремаи асосии ҳисоб
Савол:
Функсияи \(f(x) = 3x^2 \) дода шудааст. Интеграли номуайяни \(f(x) \)-ро аз \(x = 1 \) то \(x = 4 \) ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Барои ҳалли ин масъала, мо бояд антиҳосилаи \(F(x) \)-и \(f(x) \)-ро пайдо кунем.
Қадами 1: Антиҳосилаи \(F(x) \)-и \(f(x) = 3x^2 \)-ро ёбед.
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Пас, \( F(x) = x^3 \).
Қадами 2: Қимати \(F(x) \)-ро дар ҳудуди интегралии додашуда ҳисоб кунед.
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Пас, арзиши интегралӣ ба 63 баробар аст.
Намунаи саволи 2: Истифодаи қисми дуюми теоремаи асосии ҳисоб
Савол:
Агар \(F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \), ҳосилаи \(F(x) \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Мувофиқи қисми дуюми Теоремаи асосии ҳисоб, агар \(F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \) бошад, пас \(F'(x) = f(x) \).
Мувофиқи вазъияти додашуда:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
Пас ҳосилаи \(F(x) \) чунин аст:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
Мисоли 3: Истифодаи теоремаи асосии ҳисоб бо функсияҳои мураккабтар
Савол:
Бо назардошти \(f(x) = \sqrt{x} \). Интеграли номуайяни \(f(x) \)-ро аз \(x = 0 \) то \(x = 4 \) ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Қадами 1: Антиҳосилаи \(F(x) \)-и \(f(x) = \sqrt{x} \).-ро ёбед.
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Қоидаҳои асосии интегралҳоро истифода баред:
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] $$
Пас:
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Пас, \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Қадами 2: Қимати \(F(x) \)-ро дар ҳудуди интегралии додашуда ҳисоб кунед.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
Пас, арзиши интеграл \( \frac{16}{3} \) аст.
Намунаи саволи 4: Интегратсия бо функсияҳои касрӣ
Савол:
\(f(x) = \frac{2}{x} \)-ро аз \(x = 1 \) то \(x = 3 \) интеграл кунед.
Муҳокима:
Қадами 1: Антиҳосилаи \(F(x) \)-и \(f(x) = \frac{2}{x} \).-ро ёбед.
\[ int \frac{2}{x} , dx = 2 \int \frac{1}{x} , dx ,]
Мо медонем, ки:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Пас:
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Ва \(F(x) = 2 \ln |x| \).
Қадами 2: Қимати \(F(x) \)-ро дар ҳудуди интегралии додашуда ҳисоб кунед.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Пас, арзиши интеграл \(2 \ln 3 \) аст.
Намунаи саволи 5: Интегралҳои функсияҳои тригонометрӣ
Савол:
\(f(x) = \sin x \)-ро аз \(x = 0 \) то \(x = \pi \) интеграл кунед.
Муҳокима:
Қадами 1: Антиҳосилаи \(F(x) \)-и \(f(x) = \sin x \).-ро ёбед.
\[ int \sin x \, dx = -\cos x + C \] }
Ва \( F(x) = -\cos x \).
Қадами 2: Қимати \(F(x) \)-ро дар ҳудуди интегралии додашуда ҳисоб кунед.
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Пас, арзиши интегралӣ ба 2 баробар аст.
Хулоса
Теоремаи асосии ҳисобкунӣ як воситаи пуриқтидор дар ҳисобкунӣ ва умуман математика аст. Бо пайваст кардани ҳосилаҳо ва интегралҳо, ин теорема ба мо имкон медиҳад, ки масоҳати зери каҷро ҳисоб кунем ва тағирёбии функсияро бо роҳи амиқтар дарк кунем. Фаҳмидан ва аз худ кардани татбиқи ин теорема тавассути амалия калиди маҳорати ҳисобкунӣ мебошад. Ин мақола танҳо сатҳи он чизеро, ки бо Теоремаи асосии ҳисобкунӣ ба даст овардан мумкин аст, мефаҳмонад, аммо умедворем, ки тасвири равшани чӣ гуна кор кардан бо яке аз мафҳумҳои асосии математикиро пешниҳод мекунад.
