Намунаҳои саволҳо дар бораи системаҳои муодилаҳо ва нобаробариҳо
Системаҳои муодилаҳои хаттӣ ва нобаробарӣ мавзӯи муҳим дар математика буда, дар соҳаҳои гуногун, аз қабили иқтисод, илм ва муҳандисӣ, татбиқи васеъ дорад. Дар ин мақола, мо масъалаҳои намунавиро, ки системаҳои муодилаҳои хаттӣ ва нобаробарӣ ва чӣ гуна ҳалли онҳоро муфассал баррасӣ хоҳем кард.
Таърифи системаи муодилаҳои хаттӣ
Системаи муодилаҳои хаттӣ аз ду ё зиёда муодилаҳои хаттӣ иборат аст, ки бо ҳамдигар алоқаманданд. Мисолҳо инҳоянд:
\[
\оғоз{ҳолатҳо}
2x + 3y = 5
4x – y = 1
\end{cases}
\]
Ҳадафи ҳалли ин система ёфтани қиматҳои √x√ ва √y√ мебошад, ки ҳарду муодиларо ҳамзамон қонеъ мекунанд.
Усулҳои ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ
Якчанд усулҳои ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ мавҷуданд, аз ҷумла:
1. Усули ивазкунӣ
2. Усули бартарафкунӣ
3. Усули матритсавӣ (баръакс ё Гаусс-Ҷордан)
Намунаи саволи 1: Усули ивазкунӣ
Биёед системаи зеринро бо истифода аз усули ивазкунӣ ҳал кунем:
\[
\оғоз{ҳолатҳо}
x + 2y = 10
3x – y = 5
\end{cases}
\]
Лангка-лангка:
1. Яке аз тағйирёбандаҳоро дар яке аз муодилаҳо ҷудо кунед.
Аз муодилаи аввал, мо \(x\)-ро ҷудо мекунем:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Ифодаи ёфтшударо ба муодилаи дигар иваз кунед.
\(x = 10 – 2y\)-ро ба муодилаи дуюм иваз кунед:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Барои \(y\) ҳал кунед:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7 сол = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Арзишҳои ёфтшударо барои ёфтани дигар тағирёбандаҳо истифода баред.
\(y = \frac{25}{7}\)-ро ба ибораи \(x\) баргардонед:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Пас, ҳалли система инҳоянд: \(x = \frac{20}{7} \) ва \(y = \frac{25}{7} \).
Намунаи саволи 2: Усули бартарафкунӣ
Сипас, биёед усули бартарафкуниро барои ҳалли системаи зерин истифода барем:
\[
\оғоз{ҳолатҳо}
2x + 3y = 12
4x + 6y = 24
\end{cases}
\]
Дар ин ҳолат, мо мебинем, ки муодилаи дуюм зарби муодилаи аввал аст. Барои кам кардани система, мо метавонем муодилаи аввалро ба 2 зарб кунем ва сипас онро аз муодилаи дуюм тарҳ кунем:
1. Муодилаи аввалро ба 2 зарб кунед:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Муодилаи якуми зарбро аз муодилаи дуюм тарҳ кунед:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Ин ба \(0 = 0\) баробар аст, ки нишон медиҳад, ки система ҳалли беохир дорад ва ин муодилаҳо вобастаанд.
Намунаи саволи 3: Нобаробариҳои хаттӣ
Нобаробариҳои хаттӣ принсипҳои монанд ба муодилаҳои хаттиро риоя мекунанд, аммо аломатҳои нобаробариро ба монанди \(<, \leq, >, \geq\) дар бар мегиранд. Биёед ба як мисоли оддӣ назар андозем:
\[
\оғоз{ҳолатҳо}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Қадамҳо: 1. Мо барои муайян кардани минтақаи ҳалли ин система аз усули графикӣ истифода мебарем. Ҳар як нобаробариро бо график кашед. 2. Нобаробариро ба муодила табдил диҳед, то хати марзро муайян кунед: Барои \(3x - y < 7\), хати марзӣ \(3x - y = 7\) аст.
