Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи як намуди таносубҳои тригонометрӣ: tan θ
Тригонометрия як соҳаи математика аст, ки муносибати байни кунҷҳо ва дарозии паҳлӯҳоро дар секунҷаҳо меомӯзад. Яке аз таносуби тригонометрӣ, ки зуд-зуд баррасӣ мешавад, тангенс (tan) мебошад. Дар ин мақола, мо ба истифодаи таносуби tan дар намудҳои гуногуни масъалаҳо тамаркуз хоҳем кард ва якчанд мисолҳоро бо tan θ баррасӣ хоҳем кард.
Таърифи tan θ
Тангенси кунҷи θ ҳамчун нисбати дарозии тарафи муқобил ба дарозии тарафи ҳамшафат дар секунҷаи росткунҷа муайян карда мешавад. Аз нигоҳи математикӣ, ин чунин навишта мешавад:
\[ \tan θ = \frac{\text{тарафи муқобил}}{\text{тарафи ҳамшафат}} \]
Дар доираи воҳидӣ, tan-ро инчунин ҳамчун таносуби байни координатаи y (тарафи пеш) ва координатаи x (тарафи паҳлӯ)-и нуқтае дар доира, ки як воҳид аз марказ дур аст, тафсир кардан мумкин аст.
Функсияи танг дар математика ва физика
Тригонометрия, бахусус функсияи тангкунӣ, дар як қатор барномаҳои математикӣ ва физикӣ истифода мешавад. Масалан, дар физикаи классикӣ, функсияи тангкунӣ дар таҳлили ҳаракати тир ва дар муҳандисӣ барои ҳисоб кардани кунҷи майл ё градиенти сатҳ истифода мешавад.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Инҳоянд чанд мисоли саволҳо ва муҳокимаҳои онҳо барои фаҳмиши амиқтари истифодаи tan θ.
Саволи 1: Ҳисоб кардани tan θ-и секунҷаи росткунҷа
Берун оварда шудааст: Секунҷаи росткунҷа дарозии тарафи пеши кунҷи муқобили θ 4 см ва дарозии тарафи ҳамшафати кунҷи θ 3 см дорад. Қимати tan θ-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Таърифи калимаи "тан"-ро истифода баред:
\[ \tan θ = \frac{\text{pound side}}{\text{pound side}} \]
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Пас, арзиши tan θ \( \frac{4}{3} \) аст.
Саволи 2: Муайян кардани дарозии тараф бо истифода аз tan θ
Берун оварда шудааст: Секунҷаи росткунҷа бо кунҷи θ маълум аст, ки tan θ = 0.75 аст. Дарозии тарафи ҳамшафати кунҷи θ 8 см аст. Дарозии тарафи муқобилро, ки муқобили кунҷи θ аст, ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани дарозии тарафи муқобил, таърифи гангро истифода баред:
\[ \tan θ = \frac{\text{pound side}}{\text{pound side}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{poundside}}{8} \]
Барои ҳалли муодила, ҳарду тарафи муодиларо ба 8 зарб кунед.
\[ \матн{тарафи пеш} = 0.75 \зарбаи 8 \]
\[ \матн{тарафи пеш} = 6 см \]
Пас, дарозии тарафи пеш 6 см аст.
Саволи 3: Ҳисоб кардани кунҷи θ агар tan θ маълум бошад
Берун оварда шудааст: Секунҷаи росткунҷа маълум аст, ки tan θ = 1 аст. Кунҷи θ-ро номбар кунед.
Муҳокима:
Зардии кунҷ вақте баробар аст, ки дарозии тарафи муқобил ва тарафи ҳамшафат баробар бошад, ба 1 баробар аст. Дар тригонометрияи асосӣ, ин дар кунҷи 45° рух медиҳад.
Аз ин рӯ, арзиши θ 45° аст.
Саволи 4: Истифодаи Tan θ дар масъалаҳои алгебра
Дода шудааст: Арғамчин аз болои чӯбе, ки баландии он 15 метр аст, то нуқтае дар рӯи замин, ки аз пояи чӯб 20 метр дур аст, баста шудааст. Тан θ-ро ҳисоб кунед, ки дар он θ кунҷи аз ҷониби ресмон ва чӯб ба вуҷуд омада мебошад.
Муҳокима:
Таърифи калимаи "тан"-ро истифода баред:
\[ \tan θ = \frac{\text{тарафи пеш (баландии қутб)}}{\text{тарафи паҳлӯ (масофаи уфуқӣ)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Касрро содда кунед:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Пас, арзиши tan θ \( \frac{3}{4} \) аст.
Саволи 5: Муайян кардани баландӣ аз масофа ва кунҷи майл
Берун оварда шудааст: Нозир дар масофаи 100 метр аз бинои баланд истода аст. Тан θ-и мушоҳида аз мавқеи нозир то болои бино \(тан 30^\circ\) аст. Баландии биноро муайян кунед.
Муҳокима:
Маълум аст, ки \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{тарафи пеш (баландии бино)}}{\text{тарафи паҳлӯ (масофа)}} \]
Арзишҳои маълумро ба муодила пайваст кунед
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{баландии бино}}{100} \]
Барои ҷудо кардани баландии ҳарду тараф, онро ба 100 зарб кунед.
\[ \text{баландии бино} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{баландии бино} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{баландии бино} ≈ 57.73 \text{ метр} \]
Пас, баландии бино тақрибан 57.73 метрро ташкил медиҳад.
Саволи 6: Муайян кардани кунҷ аз баландӣ ва масофа
Дода шудааст: Шумо медонед, ки баландии бурҷ 50 метр ва масофаи уфуқӣ аз нуқтаи мушоҳида то поёни бурҷ 70 метр аст. Кунҷи баландшавиро ба болои бурҷ муайян кунед.
Муҳокима:
\[ \tan θ = \frac{\text{баландии бурҷ}}{\text{масофаи уфуқӣ}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
Барои ёфтани θ, мо функсияи тангенси баръакс (tan⁻¹) ё арктанро истифода мебарем.
\[ θ = \tan⁻¹ (\ frac {5}{7}) \]
Бо истифода аз ҳисобкунак ё ҷадвали тригонометрӣ, мо метавонем арзиши θ-ро пайдо кунем.
\[θ ≈ 35.54° \]
Пас, кунҷи баландӣ ба болои бурҷ тақрибан 35.54° аст.
Хулоса
Тригонометрия як воситаи пуриқтидор дар бисёр соҳаҳои илм аст. Масалан, тангенс як таносуби оддӣ, вале пуриқтидор аст, ки онро барои ҳалли масъалаҳои гуногун бо кунҷҳо ва дарозии паҳлӯҳо истифода бурдан мумкин аст. Бо фаҳмидани таърифи он ва тарзи истифодаи он, мо метавонем доираи васеи масъалаҳои геометрия ва физикаро ҳал кунем. Бо машқ кардани масъалаҳое ба монанди мисоли дар боло зикршуда, мо метавонем дар истифодаи тан θ дар ҳисобҳои ҳаррӯза маҳорати бештар пайдо кунем.
