Саволҳо ва муҳокимаи мисолҳои регрессияи хаттӣ
Регрессияи хаттӣ усули оморӣ аст, ки барои муайян кардани робитаи байни ду ё зиёда тағйирёбанда истифода мешавад. Ин усул дар соҳаҳои гуногун, аз ҷумла иқтисод, тиҷорат, илмҳои иҷтимоӣ ва илмҳои табиӣ васеъ истифода мешавад. Дар ин мақола, мо регрессияи хаттӣ, чӣ гуна ҳисоб кардани онро баррасӣ хоҳем кард ва якчанд мисолҳои масъалаҳоро бо шарҳҳо пешниҳод хоҳем кард, то ба хонандагон дар фаҳмидани амиқтари ин мафҳум кумак кунем.
Фаҳмидани регрессияи хаттӣ
Регрессияи хаттӣ усули таҳлилӣ аст, ки барои моделсозии робитаи байни як ё якчанд тағйирёбандаҳои мустақил (пешгӯикунандаҳо) ва тағйирёбандаи вобаста (ҷавоб) истифода мешавад. Регрессияи хаттии оддӣ як тағйирёбандаи мустақил ва як тағйирёбандаи вобастаро дар бар мегирад, дар ҳоле ки регрессияи хаттии сершумор беш аз як тағйирёбандаи мустақилро дар бар мегирад.
Муодилаи хати регрессияи хаттии оддӣ чунин аст:
\[ Y = a + bX \]
Ди мана:
– \( Y \) тағирёбандаи вобаста аст.
– \( X \) тағирёбандаи мустақил аст.
– \( a \) буриш аст, ки арзиши Y-ро ҳангоми X = 0 ифода мекунад.
– \( b \) коэффитсиенти регрессия аст, яъне агар X ба як воҳид тағйир ёбад, Y чӣ қадар тағйир меёбад.
Қадамҳои регрессияи хаттӣ
1. Ҷамъоварии маълумот: Аввалан, маълумотеро, ки бояд таҳлил карда шавад, ҷамъ кунед.
2. Маълумоти графикӣ: Диаграммаи парокандаро эҷод кунед, то бубинед, ки оё байни тағйирёбандаҳо робитаи хаттӣ вуҷуд дорад.
3. Коэффитсиенти регрессияро ҳисоб кунед: Барои муайян кардани беҳтарин хати рост аз усули хурдтарин квадратҳо истифода баред.
4. Санҷиши Модел: Аҳамияти коэффитсиентҳои регрессияро бо истифода аз санҷиши t санҷед ва арзиши R-квадратро муайян кунед, то бубинед, ки модел то чӣ андоза ба маълумот мувофиқат мекунад.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1: Регрессияи хаттии оддӣ
Савол:
Як муҳаққиқ мехоҳад робитаи байни шумораи соатҳои таҳсил (X) ва холҳои имтиҳони донишҷӯён (Y)-ро донад. Маълумоти бадастомада чунин аст:
| Соатҳои таҳсил (X) | Холҳои имтиҳон (Y) |
|——————–|———————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Аз ин маълумот муодилаи регрессияи хаттӣ созед!
Муҳокима:
1. Ҳисоб кардани миёна:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Ҳисоб кардани коэффитсиенти регрессия \(b \):
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \тақрибан 3.08
\]
3. Ҳисоб кардани буриши нуктаи ...
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 \ маротиба 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Муодилаи регрессия:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Пас, муодилаи регрессияи хаттӣ барои маълумот ин аст \(Y = 64.6 + 3.08X \). Ин маънои онро дорад, ки ҳар як соати иловагии омӯзиш интизор меравад, ки холҳои тестро 3.08 хол зиёд кунад.
Намунаи саволи 2: Санҷиши модел ва тафсир
Савол:
Бо истифода аз ҳамон маълумот, арзиши R-squared (R²)-ро ҳисоб кунед, то чен кунед, ки модел то чӣ андоза бо маълумот мувофиқат мекунад. Инчунин, аҳамияти коэффитсиенти регрессияро санҷед \(b\).
Муҳокима:
1. Ҷамъи умумии квадратҳо (SST), Ҷамъи регрессияи квадратҳо (SSR) ва Ҷамъи хатогии квадратҳо (SSE)-ро ҳисоб кунед:
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum (\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
ки дар он \( \hat{Y}_i \) арзиши пешгӯишудаи муодилаи регрессия аст:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\хат{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. Ҳисоб кардани SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. Ҳисоб кардани R-квадрат:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \тақрибан 0.6
\]
Қимати R-квадратии 0.6 нишон медиҳад, ки ин модел тақрибан 60% тағирёбии маълумотро шарҳ медиҳад. Ин нишон медиҳад, ки хати регрессия бо маълумот хеле хуб мувофиқат мекунад.
4. Санҷиши t барои аҳамияти коэффитсиенти \(b\):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{33.4} / \sqrt{26} \тақрибан 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \тақрибан 2.73
\]
Бо омори t тақрибан 2.73), агар мо аз остонаи умумӣ барои аҳамият истифода барем (α = 0.05), мо онро бо ҷадвали t муқоиса мекунем. Масалан, барои t (df = 3), t (t)-и муҳим тақрибан 2.353 аст. Пас t (t-мушоҳидашуда > t-критикӣ), ки нишон медиҳад, ки коэффитсиент аҳамиятнок аст.
Хулоса
Дар ин мақола, мо асосҳои регрессияи хаттӣ, чӣ гуна ҳисоб кардани коэффитсиенти регрессия ва буриши буриш ва чӣ гуна тафсир кардани натиҷаҳоро бо истифода аз масъалаҳои мисолӣ баррасӣ кардем. Барои маҳорат пайдо кардан дар истифодаи ин усул, машқҳои мунтазам бо маҷмӯи додаҳои гуногун муҳиманд. Регрессияи хаттӣ як воситаи арзишманд дар таҳлили додаҳо мебошад ва метавонад дарки амиқро дар бораи муносибатҳои байни тағйирёбандаҳо фароҳам оварад.
