Намунаҳои саволҳо дар бораи радиатсияи ҷисми сиёҳ
Шуоъзании ҷисмҳои сиёҳ яке аз мафҳумҳои бунёдӣ дар физика, бахусус физикаи квантӣ ва термодинамика мебошад. Дар ин мақола, мо таърифи шуоъзании ҷисмҳои сиёҳ, қонунҳои марбут ба онро баррасӣ хоҳем кард ва мисолҳо ва муҳокимаҳоро барои равшантар кардани ин мафҳум пешниҳод хоҳем кард.
Фаҳмидани радиатсияи ҷисми сиёҳ
Ҷисми сиёҳ як объекти назариявӣ аст, ки тамоми радиатсияи электромагнитиеро, ки ба он мерасад, бе инъикос ё интиқоли ягон мавҷ фурӯ мебарад. Ин хосият ҷисмҳои сиёҳро дар омӯзиши радиатсияи гармӣ муҳим мегардонад. Дар амал, ҷисмҳои сиёҳ дар асл вуҷуд надоранд, аммо маводҳо ба монанди сиёҳи карбон ба ин хосият наздиканд.
Шуоъзании ҷисми сиёҳ ин шуоъзании аз ҷониби ҷисми сиёҳи комил паҳншаванда аст. Ин шуоъзанӣ танҳо аз ҳарорати объект вобаста аст ва бо спектри шуоъзании ҷисми сиёҳ тавсиф мешавад, ки бо афзоиши ҳарорат ба дарозии мавҷҳои кӯтоҳтар мегузарад.
Қонунҳои радиатсияи ҷисми сиёҳ
Дар таҳлили радиатсияи ҷисми сиёҳ якчанд қонунҳои муҳим истифода мешаванд:
1. Қонуни Планк:
Ин қонун тақсимоти спектралии радиатсияи ҷисми сиёҳро тавсиф мекунад ва онро Макс Планк соли 1900 муаррифӣ кардааст. Формула чунин аст:
\[
I(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} – 1}
\]
ди мана:
– \( I(\lambda, T) \) = шиддати радиатсия дар масофаи мавҷ \(\lambda\) ва ҳарорат \(T\)
– \(h\) = Доимии Планк (6.62607015 × 10^-34 Ҷс)
– \(c\) = суръати рӯшноӣ дар вакуум (3 × 10^8 м/с)
– \(\lambda\) = мавҷи мавҷ
– \(k\) = доимии Болтсман (1.380649 × 10^-23 Ҷ/К)
– \(T\) = ҳарорати бадани сиёҳ дар Келвин
2. Қонуни Вена:
Қонуни Виен дарозии мавҷро дар шиддати максималӣ барои ҳарорати додашуда муайян мекунад ва бо формулаи зерин дода мешавад:
\[
\lambda_{max} = \frac{b}{T}
\]
ди мана:
– \(\lambda_{max}\) = ҳадди аксар мавҷ
– \(T\) = ҳарорати бадани сиёҳ дар Келвин
– \(b\) = доимии ҷойивазкунии Виен (2.8977719 × 10^-3 м К)
3. Қонуни Стефан-Болтсман:
Ин қонун мегӯяд, ки энергияи умумии аз ҷониби ҷисми сиёҳ барои як воҳиди масоҳат хориҷшаванда ба дараҷаи чоруми ҳарорати мутлақи он мутаносиб аст:
\[
P = \sigma T^4
\]
ди мана:
– \(P\) = қувва барои як воҳиди масоҳат
– \(T\) = ҳарорати бадани сиёҳ дар Келвин
– \(\sigma\) = доимии Стефан-Больцман (5.670374419 × 10^-8 Вт·м^-2·К^-4)
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Барои равшан кардани мафҳуми радиатсияи ҷисми сиёҳ, дар ин ҷо баъзе саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо оварда шудаанд:
Намунаи саволи 1: Муайян кардани дарозии мавҷ ва қувват
Савол:
Ҳарорати ҷисми сиёҳ 3000 К аст. Дарозии мавҷро муайян кунед, ки дар он шиддати максималии радиатсия ба амал меояд ва инчунин қувваи партоби ҷисмро барои як воҳиди масоҳат ҳисоб кунед.
Муҳокима:
1. Истифодаи Қонуни ҷойивазкунии Вин
Барои муайян кардани дарозии мавҷ, ки дар он шиддати максималии радиатсия ба амал меояд, мо қонуни Виенро истифода мебарем:
\[
\lambda_{max} = \frac{b}{T}
\]
Дар ин ҷо \(b = 2.8977719 × 10^-3 \, m \cdot K\) ва \(T = 3000 \, K\):
\[
\lambda_{max} = \frac{2.8977719 \times 10^{-3}}{3000} = 9.659 \times 10^{-7} \, m = 965.9 \, nm
\]
Пас, дарозии максималии мавҷ тақрибан 966 нм (нанометр) аст, ки дар спектри инфрасурх ҷойгир аст.
2. Истифодаи қонуни Стефан-Болтсман
Барои ҳисоб кардани қуввае, ки аз ҷониби ҷисми сиёҳ ба як воҳиди масоҳат партофта мешавад, мо қонуни Стефан-Болтсманро истифода мебарем:
\[
P = \sigma T^4
\]
Бо \(\sigma = 5.670374419 \times 10^{-8} \, W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}\) ва \(T = 3000 \, K\):
\[
P = 5.670374419 \times 10^{-8} \times (3000)^4 \taxminan 4592 \, W \cdot m^{-2}
\]
Ҳамин тариқ, қуввае, ки аз ҷониби ҷисми сиёҳ дар ҳарорати 3000 К барои як воҳиди масоҳат афрӯхта мешавад, тақрибан 4592 Вт/м²-ро ташкил медиҳад.
Намунаи саволи 2: Муқоисаи шиддати радиатсия дар ҳароратҳои гуногун
Савол:
Агар ҷисми сиёҳ аз 2500 К то 5000 К гарм карда шавад, радиатсияи умумии аз ҷониби ҷисм хориҷшуда дар ин ду ҳарорат чӣ гуна муқоиса мешавад?
Муҳокима:
Барои муайян кардани таносуби радиатсияи умумии партобшуда дар ин ду ҳарорат, мо қонуни Стефан-Болтсманро истифода мебарем:
\[
P_1 = \sigma (2500)^4 \quad \text{and} \quad P_2 = \sigma (5000)^4
\]
Ба мо лозим нест, ки доимии \(\sigma\)-ро муфассал ҳисоб кунем, зеро мо метавонем мустақиман қувваҳои нисбиро муқоиса кунем:
\[
\frac{P_2}{P_1} = \frac{\sigma (5000)^4}{\sigma (2500)^4} = \left( \frac{5000}{2500} \right)^4 = 2^4 = 16
\]
Ҳамин тариқ, радиатсияи умумии аз ҷониби ҷисми сиёҳ дар ҳарорати 5000 К хориҷшаванда 16 маротиба аз радиатсияе, ки дар ҳарорати 2500 К хориҷ мешавад, зиёдтар аст.
Мисоли 3: Истифодаи доимии Планк дар қонуни Планк
Савол:
Шиддати радиатсияро дар дарозии мавҷи 500 нм барои ҷисми сиёҳ дар ҳарорати 6000 К бо истифода аз Қонуни Планк ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Мо қонуни Планкро истифода мебарем:
\[
I(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} – 1}
\]
Биёед арзишҳо ва миқдорҳои доимии мавҷударо пайваст кунем:
\[
h = 6.62607015 × 10^{-34} \, Js, \, c = 3 × 10^8 \, м/с, \, k = 1.380649 × 10^{-23} \, J/K
\]
Барои \(\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m\) ва \(T = 6000 \, K\):
\[
I(500 маротиба 10^{-9}, 6000) = \frac{2 маротиба 6.62607015 маротиба 10^{-34} маротиба (3 маротиба 10^8)^2}{(500 маротиба 10^{-9})^5} \frac{1}{e^{\frac{6.62607015 маротиба 10^{-34} маротиба 3 маротиба 10^8}{500 маротиба 10^{-9} маротиба 1.380649 маротиба 10^{-23} маротиба 6000}} – 1}
\]
Пас аз ҳисоб кардани дараҷабандӣ ва тақсимоти он, арзиши ададӣ метавонад бо ёрии калкулятори илмӣ ё нармафзори математикӣ ба даст оварда шавад, зеро ин кор дастӣ анҷом дода мешавад.
Хулоса
Шуоъзании ҷисмҳои сиёҳ ба ҷаҳони физика фаҳмиши амиқ медиҳад ва барои рушди назарияи квантӣ муҳим аст. Бо дарки қонунҳои танзимкунандаи шуоъзании ҷисмҳои сиёҳ ва қобилияти ҳалли масъалаҳои марбут ба он, мо метавонем падидаҳои табииро, ба монанди шуоъзании электромагнитии аз ҷониби ситорагон, аз ҷумла Офтоб ва дигар ашё, беҳтар дарк кунем.
