Намунаи саволи баҳсӣ дар бораи муодилаи доира
Муодилаи доира мавзӯи муҳим дар геометрияи таҳлилӣ мебошад. Фаҳмиши хуби муодилаи доира на танҳо дар математика, балки дар соҳаҳои гуногуни муҳандисӣ ва илмӣ низ хеле муфид аст. Дар ин мақола мо якчанд мисолҳои муодилаҳои доира ва ҳалли онҳоро баррасӣ хоҳем кард. Ҳадаф пешниҳоди шарҳи равшан ва ҳамаҷонибаи чӣ гуна ҳалли масъалаҳо бо муодилаҳои доира мебошад.
Муодилаи умумии доира
Маъмултарин муодилаи доира дар координатаҳои декартӣ ин аст:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ди мана:
– \( (a, b) \) координатаҳои маркази доира мебошанд.
– \( r \) радиуси доира аст.
Агар маркази доира дар нуқтаи \(0, 0) \) бошад, муодилаи доира чунин хоҳад буд:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Акнун, биёед баъзе мисолҳои саволҳо ва роҳҳои ҳалли онҳоро баррасӣ кунем.
Намунаи саволи 1
Савол: Муодилаи доираеро муайян кунед, ки марказаш дар нуқтаи (3, -2) ҷойгир аст ва радиуси он 5 аст.
Ҳалли масъала:
Формулаи умумиро барои муодилаи доира истифода баред:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Қиматҳои \(a = 3 \), \(b = -2 \) ва \(r = 5 \)-ро иваз кунед:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Пас, муодилаи доира чунин аст:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Намунаи саволи 2
Савол: Муодилаи доираеро муайян кунед, ки марказаш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) ҷойгир аст ва радиуси он 7 аст.
Ҳалли масъала:
Азбаски маркази доира дар ибтидо ҷойгир аст, мо метавонем муодилаи соддаро истифода барем:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Қимати \(r = 7 \)-ро иваз кунед:
\[x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Пас, муодилаи доира чунин аст:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Намунаи саволи 3
Савол: Муодилаи доираеро муайян кунед, ки марказаш дар нуқтаи (4, -5) ҷойгир аст ва ба меҳвари Y мерасад.
Ҳалли масъала:
Доирае, ки ба меҳвари Y тангенс дорад, маънои онро дорад, ки масофа аз маркази доира то меҳвари Y ба радиуси он баробар аст. Ин масофа арзиши мутлақи координатаи X-и маркази доира аст. Пас, радиус 4 аст.
Формулаи умумиро барои муодилаи доира истифода баред:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Қиматҳои \(a = 4 \), \(b = -5 \) ва \(r = 4 \)-ро иваз кунед:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Пас, муодилаи доира чунин аст:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Намунаи саволи 4
Савол: Доира дорои муодилаи \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) мебошад. Марказ ва радиуси доираро муайян кунед.
Ҳалли масъала:
Барои ҳалли ин муодила, мо бояд онро ба шакли стандартии \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \) табдил диҳем. Қадамҳои анҷом додани он чунинанд:
1. Гурӯҳбандӣ ва ҳалли мураббаъҳои комил:
Муодилаи ибтидоӣ чунин аст:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Гурӯҳи \(x \) ва \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Квадратро пурра ҳал кунед:
Барои \( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Барои \(y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
9 ва 4-ро ба ҳарду тарафи муодила илова кунед:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Пас, муодилаи доира дар шакли стандартӣ чунин аст:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Аз ин ҷо мо мебинем, ки маркази давра \( (3, -2) \) ва радиус \( r = \sqrt{25} = 5 \) аст.
Намунаи саволи 5
Савол: Муодилаи доираеро, ки аз нуқтаҳои (2, 3) ва (4, 5) мегузарад ва маркази он дар хати x = 3 ҷойгир аст, муайян кунед.
Ҳалли масъала:
Аз савол мо медонем, ки маркази давра (3, b) аст. Доира инчунин аз ду нуқтаи маълум мегузарад. Азбаски доира аз (2, 3) мегузарад, масофа аз марказ то ин нуқта радиус аст.
Муодилаи доира чунин аст:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Нуқтаи ивазкунӣ (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Нуқтаи ивазкунӣ (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Аз ин ду муодила, мо медонем, ки (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Пас:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Агар \(3 – b = 5 – b \) бошад, натиҷа наметавонад дуруст бошад. Пас:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Ҳангоми b = 4, муодилаи доира чунин аст:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Аммо, мо метавонем радиуси r-ро аз масофаи байни марказ ва нуқта (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\) ҳисоб кунем.
Муодилаи доира чунин аст:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Хулоса
Фаҳмидани муодилаи доира метавонад ҳалли бисёр масъалаҳои риёзиро содда гардонад. Дар ҳар як ҳолат, муайян кардани марказ ва радиус муҳим аст. Умедворем, ки ин мисолҳои масъалаҳо ва шарҳҳои онҳо равшанӣ меандозанд ва ба шумо дар омӯхтани муодилаи доира кӯмак мерасонанд. Машқ дар математика комилият мебахшад, аз ин рӯ, барои беҳтар кардани малакаҳои худ аз санҷидани масъалаҳои гуногун шарм надоред.
