Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи зарби скалярӣ аз рӯи векторҳо
Пендахулуан
Дар математика ва физика, зарб кардани скаляр ба вектор як амали асосӣ ва зуд-зуд истифодашаванда аст. Ин зарб барои таҳияи мафҳумҳои мураккабтар дар геометрия, механика ва таҳлили векторӣ муҳим аст. Ин мақола барои шарҳ додани мафҳуми зарб кардани скаляр ба вектор нигаронида шудааст ва мисолҳо ва муҳокимаҳоро барои равшан кардани фаҳмиш пешниҳод мекунад.
Фаҳмидани зарби скалярӣ бо векторҳо
Зарби скаляр ба вектор амалест, ки дар он скаляр (адади ягона) ба ҳар як ҷузъи вектор зарб карда мешавад. Натиҷаи ин амал вектори нав бо самти вектори аслӣ, вале бо бузургии тағйирёфта аз ҷониби скаляр мебошад. Умуман, агар мо вектори \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) ва скаляр \(k\) дошта бошем, пас ҳосили онҳо \(k\mathbf{v}\) чунин аст:
\[
k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)
\]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1
Фарз мекунем, ки вектори \(\mathbf{v} = (3, -4, 5)\) ва скаляр \(k = 2\) мавҷуд аст. Зарби скаляр ва векторро ҳисоб кунед.
Баҳси 1
Бо истифода аз таърифи зарби скалярӣ аз рӯи вектор:
\[
k \mathbf{v} = 2 \cdot (3, -4, 5)
\]
Қадамҳои ҳисобкунӣ чунинанд:
\[
k \mathbf{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -4, 2 \cdot 5)
\]
\[
k \mathbf{v} = (6, -8, 10)
\]
Пас, ҳосили скалярии \(2\) ба вектори \((3, -4, 5)\) \((6, -8, 10)\) аст.
Саволи 2
Агар вектори \(\mathbf{w} = (-1, 0, 7)\) ва скаляр \(k = -3\) мавҷуд бошад, зарби скаляриро муайян кунед.
Баҳси 2
Бо истифода аз ҳамон формулаи қаблӣ:
\[
k \mathbf{w} = -3 \cdot (-1, 0, 7)
\]
Қадамҳои ҳисобкунӣ чунинанд:
\[
k \mathbf{w} = (-3 \cdot -1, -3 \cdot 0, -3 \cdot 7)
\]
\[
k \mathbf{w} = (3, 0, -21)
\]
Ҳосили скалярии \(-3\) ба вектори \((-1, 0, 7)\) \((3, 0, -21)\) аст.
Саволи 3
Векторе мавҷуд аст, ки \(\mathbf{u} = (2, -1, 4)\) аст. Агар вектор ба скалярии \(\frac{1}{2}\ зарб карда шавад, натиҷаи зарбро муайян кунед.
Баҳси 3
Бо истифода аз ҳамон формула:
\[
k \mathbf{u} = \frac{1}{2} \cdot (2, -1, 4)
\]
Қадамҳои ҳисобкунӣ чунинанд:
\[
k \mathbf{u} = \left(\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot -1, \frac{1}{2} \cdot 4\right)
\]
\[
k \mathbf{u} = (1, -0.5, 2)
\]
Пас, ҳосили скалярии \(\frac{1}{2}\) аз ҷониби вектори \((2, -1, 4)\) \((1, -0.5, 2)\) аст.
Саволи 4
Вектори \(\mathbf{a} = (6, 8, -3)\) ва скаляр \(k = 0\) дода шудааст. Ҳосили онҳоро ёбед.
Баҳси 4
Бо истифода аз формулаи зарби скалярӣ бо вектор:
\[
k \mathbf{a} = 0 \cdot (6, 8, -3)
\]
Қадамҳои ҳисобкунӣ чунинанд:
\[
k \mathbf{a} = (0 \cdot 6, 0 \cdot 8, 0 \cdot -3)
\]
\[
k \mathbf{a} = (0, 0, 0)
\]
Ҳосили зарби скалярии \(0\) ба вектори \((6, 8, -3)\) \((0, 0, 0)\) аст. Ин нишон медиҳад, ки зарби вектор ба скалярии \(0\) вектори сифрро ба вуҷуд меорад.
Саволи 5
Фарз мекунем, ки ду вектор вуҷуд дорад: \(\mathbf{b} = (7, -2, 3)\) ва \(\mathbf{c} = (-5, 4, 6)\). Ҳосили скалярии \(4\)-ро бо ҷамъи ду вектор муайян кунед.
Баҳси 5
Қадами аввал ин илова кардани ду вектор аст:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7, -2, 3) + (-5, 4, 6)
\]
Ҷамъкунии векторҳо бо роҳи илова кардани ҷузъҳои мувофиқ анҷом дода мешавад:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7 + (-5), -2 + 4, 3 + 6)
\]
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (2, 2, 9)
\]
Қадами навбатӣ, натиҷаро ба скалярии \(4\) зарб кунед:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 4 \cdot (2, 2, 9)
\]
Қадамҳои ҳисобкунӣ инҳоянд:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (4 \cdot 2, 4 \cdot 2, 4 \cdot 9)
\]
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (8, 8, 36)
\]
Пас, зарби скалярии \(4\) ва ҷамъи ду вектор \((8, 8, 36)\) аст.
Хулоса
Зарб кардани скаляр ба вектор дар бисёр соҳаҳои илм як амалиёти оддӣ, вале асосӣ аст. Бо зарб кардани скаляр ба ҳар як ҷузъи вектор, мо метавонем ба осонӣ бузургии векторро бе тағир додани самти он тағйир диҳем. Дар ин мақола мафҳум шарҳ дода шудааст ва мисолҳо ва роҳҳои ҳал барои равшан кардани тарзи кори ин амалиёт оварда шудаанд. Фаҳмидани ин амалиёти асосӣ метавонад азхуд кардани мафҳумҳои пешрафтатарро дар математика ва физика осонтар кунад.
Умедворем, ки тавассути ин мақола ва саволҳои мисолӣ, хонандагон метавонанд зарби скалярӣ ба векторҳоро беҳтар дарк кунанд ва онро дар вазъиятҳо ва масъалаҳои воқеӣ татбиқ кунанд.
