Намунаҳои саволҳо дар бораи навиштани ҳосилаҳои функсия
Ҳосилаи функсия як мафҳуми асосӣ дар ҳисобкунӣ буда, дар соҳаҳои гуногуни илм, ба монанди физика, иқтисод, биология ва муҳандисӣ, зуд-зуд истифода мешавад. Ҳосилаи функсия чен мекунад, ки арзиши он нисбат ба тағирёбии тағирёбандаҳои мустақили он чӣ қадар зуд тағйир меёбад. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои марбут ба навиштани ҳосилаи функсияро бо шарҳҳо баррасӣ хоҳем кард.
Намунаи саволи 1: Ҳосилаи функсияҳои оддӣ
Савол: Ҳосилаи аввали функсияи \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Барои муайян кардани ҳосилаи аввали функсияи \(f(x) \), мо қоидаҳои асосии дифференсиализатсияро истифода мебарем, яъне:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Пас, мо метавонем ҳосилаи ҳар як ҷузъи функсияро чунин ҳисоб кунем:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Пас, ҳосилаи аввали функсияи \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) \(f'(x) = 6x + 5 \) аст.
Намунаи саволи 2: Ҳосилаҳои функсияҳои тригонометрӣ
Савол: Ҳосилаи аввали функсияи \(g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Мо қоидаҳои асосии ҳосиларо барои функсияҳои тригонометрӣ истифода мебарем:
\[
$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) $$
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Пас:
\[
$ g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x)) $$
\]
\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]
Пас, ҳосилаи аввали функсияи \(g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) ин аст \(g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \).
Намунаи саволи 3: Ҳосилаи функсияи зарб
Савол: Ҳосилаи аввали функсияи \(h(x) = x^2 \sin(x) \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Барои функсияҳое, ки ҳосили ду функсия мебошанд, мо қоидаи зарбро истифода мебарем:
\[
\frac{d}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Фарз мекунем, ки \(u(x) = x^2 \) ва \(v(x) = \sin(x) \). Пас:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
Бо истифода аз қоидаи зарб, мо метавонем чунин нависем:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]
Пас, ҳосилаи аввали функсияи \(h(x) = x^2 \sin(x) \) ин аст \(h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).
Намунаи саволи 4: Ҳосилаи функсияи таркибӣ
Савол: Ҳосилаи аввали функсияи \(k(x) = \sin(x^2) \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Барои функсияҳое, ки таркиби ду функсияро ташкил медиҳанд, мо қоидаи занҷирро истифода мебарем:
\[
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Бигзор \(f(u) = \sin(u) \) ва \(u = x^2 \). Пас \(f'(u) = \cos(u) \) ва \(g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
Бо истифода аз қоидаи занҷир, мо метавонем чунин нависем:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Пас, ҳосилаи аввали функсияи \(k(x) = \sin(x^2) \) ин аст \(k'(x) = 2x \cos(x^2) \).
Намунаи саволи 5: Ҳосилаи функсияҳои рационалӣ
Масъала: Ҳосилаи аввали функсияи \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Барои функсияҳое, ки қисмати ду функсия мебошанд, мо қоидаи қисмро истифода мебарем:
\[
$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$
\]
Фарз мекунем, ки \(u(x) = 2x \) ва \(v(x) = x^2 + 1 \). Пас:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Бо истифода аз қоидаи тақсимот, мо метавонем чунин нависем:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Пас, ҳосилаи аввали функсияи \(m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) ин аст \(m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Хулоса
Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъалаҳоеро, ки бо ҳосилаҳои функсияҳо алоқаманданд, аз функсияҳои оддӣ, функсияҳои тригонометрӣ, зарб, таркиб ва функсияҳои рационалӣ, баррасӣ кардем. Ҳар як мисол истифодаи дурусти қоидаҳои ҳосилаҳо, ба монанди қоидаи асосӣ, қоидаи занҷир, қоидаи зарб ва қоидаи қисмро нишон медиҳад. Фаҳмидани тарзи татбиқи ин қоидаҳо барои ҳалли масъалаҳои мураккабтари ҳисобкунӣ дар фанҳои гуногун муҳим аст. Машқ ва омӯзиши такрорӣ ба тақвияти фаҳмиш ва малакаҳои шумо дар фарқ кардани функсияҳо мусоидат мекунад.
