Намунаи савол дар бораи ҷамъи ду вектор бо истифода аз усули параллелограмм
Ҷамъкунии векторҳо як мафҳуми муҳим дар физика ва математика буда, аксар вақт барои тавсифи падидаҳои табиӣ ва мушкилоти ҳаёти ҳаррӯза истифода мешавад. Якчанд усулҳо барои ҷамъ кардани ду вектор мавҷуданд, ки яке аз онҳо усули параллелограмм аст. Ин усул на танҳо фаҳмо аст, балки инчунин тасаввуроти пурқуввати он медиҳад, ки чӣ гуна ду вектор якҷоя шуда, вектори натиҷавиро ташкил медиҳанд. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои ҷамъкунии векторҳоро бо истифода аз усули параллелограмм ва инчунин ҳалли онҳоро баррасӣ хоҳем кард.
Вектор чист?
Пеш аз он ки ба масъалаҳои мисолӣ гузарем, мо бояд таърифи асосии векторро дарк кунем. Вектор бузургие аст, ки ҳам бузургӣ (дарозӣ) ва ҳам самт дорад. Мисолҳои классикии векторҳо суръат, шитоб, қувва ва ҷойивазкуниро дар бар мегиранд. Векторро метавон ҳамчун ҷузъҳои он (i, j, k) дар координатаҳои декартӣ ё ҳамчун дарозӣ ва самти он (кунҷ) нишон дод.
Усули параллелограмм
Усули параллелограмм яке аз роҳҳои ҷамъ кардани ду вектор аст. Дар ин усул, мо ду векторро ҳамчун ду тарафи параллелограмм нишон медиҳем. Вектори натиҷавӣ диагонали параллелограмм аст, ки аз нуқтаи ибтидоии ду вектор оғоз мешавад. Аз ҷиҳати математикӣ, агар мо ду вектори \(\vec{A}\) ва \(\vec{B}\) дошта бошем, натиҷа \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) мешавад.
Усули қадам ба қадам барои истифодаи усули параллелограмм чунин аст:
1. Вектори \(\vec{A}\)-ро аз нуқтаи ибтидоӣ кашед.
2. Аз охири вектори \(\vec{A}\), вектори \(\vec{B}\)-ро кашед.
3. Аз нуқтаи ибтидоии \(\vec{A}\) ба вектори \(\vec{B}\) параллел хати рост кашед.
4. Аз охири вектори \(\vec{B}\) хати мувозӣ ба вектори \(\vec{A}\) кашед.
5. Барои ба даст овардани вектори ҳосилшуда \(\vec{R}\), аз нуқтаи ибтидоӣ то кунҷи муқобил диагонал кашед.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1
Фарз мекунем, ки мо ду вектори \(\vec{A}\) ва \(\vec{B}\) дорем:
– \(\vec{A}\) дарозӣ (андоза)-и 5 воҳид ва самти 0° (ё дар баробари меҳвари x-и мусбат) дорад,
– \(\vec{B}\) дарозии 3 воҳид ва самти 90° (ё дар баробари меҳвари y мусбат) дорад.
Қимати ҳосилшуда ҳангоми ҷамъ кардани ин ду вектор бо истифода аз усули параллелограмм чӣ қадар аст?
Муҳокима:
1. Вектори \(\vec{A}\)-ро дар меҳвари x-и мусбат бо дарозии 5 воҳид кашед.
2. Аз охири вектори \(\vec{A}\), вектори \(\vec{B}\)-ро дар меҳвари y-и мусбат бо дарозии 3 воҳид кашед.
3. Аз нуқтаи ибтидоии \(\vec{A}\), хати мувозӣ ба \(\vec{B}\) кашед.
4. Аз охири \(\vec{B}\), хати мувозӣ ба \(\vec{A}\) кашед.
5. Натиҷа параллелограмм бо диагонали он аст, ки вектори натиҷавӣ \(\vec{R}\) мебошад.
Азбаски \(\vec{A}\) ва \(\vec{B}\) ба якдигар амудӣ мебошанд, мо метавонем теоремаи Пифагорро барои ҳисоб кардани дарозии вектори натиҷавӣ истифода барем:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \тақрибан 5.83 \]
Самти вектори натиҷавиро бо истифода аз тригонометрия ҳисоб кардан мумкин аст. Агар \(\theta\) кунҷи байни натиҷаи натиҷавӣ ва \(\vec{A}\ бошад:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
ҳамин тавр:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \taxminan 30.96^\circ \]
Ҳамин тариқ, вектори ҳосилшуда \(\vec{R}\) дорои бузургии тақрибан 5.83 воҳид ва самти тақрибан 30.96° аз \(\vec{A}\) мебошад.
Саволи 2
Ду вектори \(\vec{C}\) ва \(\vec{D}\) чунин дода шудаанд:
– \(\vec{C}\) бо дарозии 4 воҳид ва самти 45°.
– \(\vec{D}\) бо дарозии 6 воҳид ва самти 120°.
Вектори ҳосилшударо аз ҷамъи ду вектор муайян кунед.
Муҳокима:
Барои илова кардани ду векторе, ки ба якдигар перпендикуляр нестанд ё шаклҳои гуногун надоранд, шумо метавонед аз компонентҳои декартӣ истифода баред.
1. \(\vec{C}\) ва \(\vec{D}\)-ро ба ҷузъҳои x ва y ҷудо кунед.
Барои \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
Барои \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \taxminan 5.20 \]
2. Компонентҳои x ва y-и ҳарду векторро ҷамъ кунед:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Бузургӣ ва самти вектори ҳосилшударо ҳисоб кунед \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \тахминан 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Азбаски натиҷа манфӣ аст, мо 180° илова мекунем, то кунҷро дар системаи дурусти квадрант ба даст орем:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Пас, вектори ҳосилшуда \(\vec{R}\) бузургии тақрибан 8.03 воҳид ва самти тақрибан 271.93° дорад, ё мо метавонем тақрибан 91.93° аз меҳвари манфии x дар квадранти чорум бигӯем.
Penutup
Усули параллелограмм як роҳи муассир ва визуалии ҷамъ кардани ду вектор аст. Гарчанде ки ин усул барои векторҳои оддӣ содда ба назар мерасад, муҳим аст, ки дарк кунем, ки барои векторҳои мураккабтар, мо аксар вақт бояд аз ҷузъҳои декартӣ ва усулҳои пешрафтаи алгебравӣ барои ба даст овардани натиҷаҳои дақиқ истифода барем. Умедворем, ки мисолҳои дар боло овардашуда тасвири равшанеро дар бораи он ки чӣ гуна ин усулро дар вазъиятҳои гуногун татбиқ кардан мумкин аст, пешниҳод мекунанд.
