Намунаҳои саволҳо дар бораи татбиқи интегралҳо дар физика
Истифодаи интегралҳо дар физика як мафҳуми хеле муҳим ва васеъ аст. Татбиқи интегралҳо ба физикҳо ва муҳандисон имкон медиҳад, ки як қатор падидаҳои мураккаби табииро, хоҳ бо ҳаракат, энергия, қувва ё дигар ҷанбаҳо алоқаманд бошанд, ҳисоб кунанд. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ баррасӣ ва татбиқи интегралҳо дар физика баррасӣ карда мешавад.
1. Ҳисоб кардани кор бо қувваи тағйирёбанда
Савол
Қуввае, ки бо мавқеи \(x\) тағйир меёбад, бо \(F(x) = 3x^2 \) дода мешавад. Кори ин қувваро ҳангоми ҳаракати объект аз \(x = 0\) то \(x = 2 \) метр ҳисоб кунед.
Пембахасан
Коре, ки қувваи тағйирёбанда анҷом медиҳад, интеграли қувва дар масофа аст. Агар қувваи \(F(x) \) ҳамчун функсияи мавқеи \(x\) дода шавад, мо метавонем корро чунин ифода кунем:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Дар ин маврид:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{meter} \]
\[ b = 2 \, \text{meter} \]
Пас, кори \(W\) чунин аст:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Мо ин интегралро ҳисоб мекунем:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Ҷоул}
\]
Пас, кори аз ҷониби қувва анҷомдодашуда 8 Ҷоул аст.
2. Ҳисоб кардани маркази массаи милаи якхела
Савол
Милаи якхела бо дарозии \(L\) дар меҳвари x аз \(x = 0 \) то \(x = L \) ҷойгир аст. Мавқеи маркази массаи миларо ҳисоб кунед.
Пембахасан
Барои милаи якхела, масса дар тӯли дарозии он баробар тақсим мешавад. Мо метавонем фарз кунем, ки мила массаи хаттии доимӣ дорад \(\lambda\) (масса барои як воҳиди дарозӣ).
Маркази масса (\(x_{cm}\)) бо формулаи зерин дода мешавад:
\[ x_{см} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Азбаски масса якхела тақсим шудааст, мо метавонем \(dm = \lambda \, dx\) ва интеграли сарҳадиро аз \(x = 0\) то \(x = L\) ифода кунем:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Интегратсия тавассути \(\lambda\) доимӣ аст ва онро бекор кардан мумкин аст:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Пас, мавқеи маркази массаи стержень дар √(√L}{2}), ё дар мобайни стержень ҷойгир аст.
3. Ҳисоб кардани қувваи электростатикӣ дар асоси Қонуни Кулон
Савол
Ду заряди \(q_1\) ва \(q_2\) дар меҳвари x мутаносибан дар \(x = 0\) ва \(x = L\) ҷойгир шудаанд. Қувваи электростатикии байни ду зарядро ҳисоб кунед.
Пембахасан
Қонуни Кулон мегӯяд, ки қувваи байни ду заряди нуқтаӣ ба ҳосили зарядҳо мутаносиб ва ба квадрати масофаи байни онҳо мутаносиб аст:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Дар куҷо:
– \(k_e\) доимии Кулон аст \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) масофаи байни зарядҳо мебошад
Дар ин ҳолат, \(q_1\) ва \(q_2\) дар \(x = 0\) ва \(x = L\) ҷойгиранд, пас масофа \(r = L\).
Қувваи электростатикӣ ин аст:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Ин як роҳи ҳалли маъмулан истифодашаванда барои ҳисоб кардани қувваи электростатикӣ байни ду заряди нуқтаӣ, ки дар масофаи муайян ҷойгир шудаанд, мебошад.
4. Ҳисоб кардани ҷараёни магнитӣ
Савол
Ҳалқаи симии даврашакл бо радиуси \(r\) дар майдони магнитии якхела \(B\) ҷойгир карда шудааст, ки ба ҳамвории ҳалқа амудӣ аст. Ҷараёни магнитиро тавассути ҳалқа ҳисоб кунед.
Пембахасан
Ҷараёни магнитӣ (\(\Phi_B\)) тавассути минтақаи \(A\) дар майдони магнитӣ \(B\) бо формулаи зерин дода мешавад:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Азбаски майдони магнитии \(B\) якхела ва ба сатҳи ҳалқа амудӣ аст, интеграли оддӣ чунин мешавад:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
ки дар он масоҳати \(A\)-и доира бо радиус \(r\) чунин аст:
\[ A = \pi r^2 \]
Пас, ҷараёни магнитӣ тавассути ҳалқа чунин аст:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Пас, ҷараёни магнитӣ тавассути ҳалқа \(B \pi r^2 \) аст.
Хулоса
Истифодаи интегралҳо дар физика вақте ногузир аст, ки мо бояд маълумотро дар бораи падидаҳои мураккаби табиӣ ҳисоб кунем. Аз ҳисоб кардани кори анҷомдодашуда аз ҷониби қувваи тағйирёбанда, муайян кардани маркази массаи объект, ҳисоб кардани қувваҳои электростатикӣ дар асоси қонуни Кулон то ҳисоб кардани ҷараёни магнитӣ тавассути ҳалқаи сим дар майдони магнитӣ, ҳама барои ҳалли масъалаҳо ба интегралҳо такя мекунанд. Фаҳмиши пурраи он, ки чӣ гуна интегралҳо дар контекстҳои гуногуни физика кор мекунанд, на танҳо ҳалли масъалаҳоро содда мекунад, балки инчунин фаҳмиши амиқтарро дар бораи механикаи коинот дар сатҳи молекулавӣ ва сатҳи галактикӣ фароҳам меорад.
