Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи коҳиши экспоненсиалӣ
Камшавии экспоненсиалӣ як падидаи табиӣ аст, ки дар фанҳои гуногун, аз қабили физика, химия, биология ва иқтисод, мушоҳида мешавад. Ҳамчун як модели математикӣ, камшавии экспоненсиалӣ равандеро тавсиф мекунад, ки тавассути он миқдори муайян мутаносибан ба миқдори ҷории он кам мешавад. Дар математика, камшавии экспоненсиалӣ шакли умумиро пайгирӣ мекунад:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
ди мана:
– \( N(t) \) маблағи боқимонда дар вақти \(t \) аст,
– \( N_0 \) рақами ибтидоӣ аст,
– \( \lambda \) доимии пӯсиш аст (аксар вақт суръати пӯсиш номида мешавад),
– \( t \) вақт аст,
– \( e \) асоси логарифми натуралӣ аст (тақрибан 2.718).
Дар ин мақола, мо баъзе мисолҳои мушкилоти коҳиши экспоненсиалӣ ва роҳҳои ҳалли онҳоро баррасӣ хоҳем кард, то ба фаҳмиши амиқтари ин мафҳум кумак кунем.
Намунаи саволи 1: Пӯсиши радиоактивӣ
Савол:
Нисфуҷури моддаи радиоактивӣ 5 сол аст. Агар дар аввал 100 грамм модда мавҷуд бошад, пас аз 15 сол чӣ қадар боқӣ мемонад?
Муҳокима:
Пуршавии радиоактивиро бо истифода аз формулаи пуршавии экспоненсиалӣ моделсозӣ кардан мумкин аст. Нимҳаёт (\(t_{1/2} \)) вақтест, ки барои пусидани нисфи миқдори маводи радиоактивӣ лозим аст. Маълум аст, ки \(t_{1/2} = 5 \) сол аст.
Аввал мо бояд доимии коҳишро бо истифода аз формулаи зерин пайдо кунем: (\lambda\)
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ year}^{-1} \]
Пас, формулаи коҳиши экспоненсиалӣ чунин аст:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \ маротиба 15} \]
Акнун, мо арзишро ҳисоб мекунем:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \ маротиба 0.125 \]
\[ N(t) \тақрибан 12.5 \матн{ грамм} \]
Пас, пас аз 15 сол, тақрибан 12.5 грамм маводи радиоактивӣ боқӣ мемонад.
Мисоли 2: Пастшавии конденсатор
Савол:
Конденсаторе, ки заряди ибтидоӣ дорад (Q_0 = 200 C), дар занҷир холӣ мешавад. Доимии вақт (tau = 4) аст. Пас аз 10 сония чӣ қадар заряд боқӣ мемонад?
Муҳокима:
Дар ҳолати коҳиши заряди конденсатор, модели экспоненсиалии истифодашуда чунин аст:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
Бо назардошти \(Q_0 = 200 \text{ C} \) ва \(\tau = 4 \text{ s} \). Мо бояд \(Q(10) \)-ро пайдо кунем:
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Ҳисоб кардани арзишҳои экспоненсиалӣ:
\[ Q(10) = 200 \қадар 0.0821 \]
\[ Q(10) \тақрибан 16.42 \text{ C} \]
Пас, пас аз 10 сония, заряди боқимондаи конденсатор тақрибан 16.42°C аст.
Намунаи саволи 3: Пӯсидани кимиёвӣ
Савол:
Як моддаи кимиёвӣ дорои константаи таҷзияи \( \lambda = 0.05 \text{ days}^{-1} \) мебошад. Чӣ қадар вақт лозим аст, ки моддаи кимиёвӣ то 25% миқдори аввалаи худ кам шавад?
Муҳокима:
Мо бо формулаи умумии коҳиши экспоненсиалӣ оғоз мекунем:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Мо мехоҳем, ки N(t) 25% аз \( N_0 \) бошад, то ки:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Хориҷ кардани \(N_0 \) аз ҳарду тараф:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Истифодаи логарифмҳои табиӣ барои ҳалли ҳолатҳои экспоненсиалӣ:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 т \]
Ҳалли \(t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \тақрибан 27.726 \матн{ рӯз} \]
Пас, вақти зарурӣ барои кам кардани миқдори моддаи кимиёвӣ то 25% аз миқдори аввалияи он тақрибан 27.726 рӯзро ташкил медиҳад.
Намунаи саволи 4: Пӯсидани популятсияи бактерияҳо
Савол:
Популятсияи бактерияҳо бо суръати экспоненсиалӣ кам мешавад, ки пас аз 3 соат популятсия нисфи шумораи ибтидоии онро ташкил медиҳад. Агар популятсияи ибтидоӣ 8000 бактерия бошад, пас аз 9 соат чанд бактерия боқӣ мемонад?
Муҳокима:
Маълум аст, ки нимҳаёти \(t_{1/2} = 3 \) соат аст. Аввал мо доимии коҳишро \(\lambda \) меёбем:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ hour}^{-1} \]
Баъд аз ин, мо формулаи коҳиши экспоненсиалиро истифода мебарем:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \ маротиба 9} \]
Ҳисоб кардани арзишҳои экспоненсиалӣ:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \каратаи 0.125 \]
\[ N(9) \тақрибан 1000 \]
Пас, пас аз 9 соат, тақрибан 1000 бактерия боқӣ мемонад.
Хулоса
Модели коҳиши экспоненсиалӣ барои ҳалли масъалаҳои марбут ба равандҳои коҳиш дар як қатор барномаҳои илмӣ ва муҳандисӣ як равиши муассирро фароҳам меорад. Бо дарки мафҳумҳои асосӣ, ба монанди доимиҳои коҳиш, нимҳаёт ва истифодаи формулаҳои экспоненсиалӣ, мо метавонем тағирёбии миқдорро дар тӯли вақт бо осонӣ ҳисоб кунем. Масъалаҳои амалии дар боло баррасӣшуда бояд ба мо дар фаҳмидан ва татбиқи мафҳуми коҳиши экспоненсиалӣ дар вазъиятҳои мураккабтар кӯмак расонанд.
