Намунаҳои саволҳо дар бораи эҳтимолияти рӯйдодҳои мураккаб
Муқаддима ба эҳтимолияти рӯйдодҳои мураккаб
Эҳтимолият як соҳаи математика аст, ки эҳтимолияти рух додани ҳодисаро меомӯзад. Эҳтимолияти ҳодисаи мураккаб эҳтимолияти ҳодисаест, ки зиёда аз як ҳодисаро дар бар мегирад. Масалан, эҳтимолияти партофтани адади ҷуфт ба зарба ва туз аз саҳни кортҳои бозӣ мисолҳои ҳодисаҳои мураккаб мебошанд. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ баррасӣ ва эҳтимолияти ҳодисаҳои мураккаб баррасӣ карда мешаванд.
Консепсияи асосии эҳтимолияти рӯйдодҳои мураккаб
Ду намуди рӯйдодҳои мураккаб мавҷуданд:
1. Рӯйдодҳои истисноии мутақобила: Ду рӯйдод, ки наметавонанд ҳамзамон рух диҳанд. Масалан, ҳангоми партофтани зарба, рӯйдодҳои партофтани 2 ва 5 рӯйдодҳои истисноии мутақобила мебошанд, зеро партофтани ҳарду рақам ҳамзамон ғайриимкон аст.
2. Рӯйдодҳои ғайримутақобил: Ду рӯйдод, ки метавонанд ҳамзамон рух диҳанд. Масалан, дар қуръакашии кортҳои бозӣ, рӯйдодҳои гирифтани корти дил (♥) ва корт бо рақами 10 рӯйдодҳои ғайримутақобил мебошанд, зеро корти дил бо рақами 10 вуҷуд дорад.
Инҳоянд баъзе формулаҳои асосӣ, ки ҳангоми ҳисоб кардани эҳтимолияти рӯйдодҳои мураккаб истифода мешаванд:
– P(A ё B) (барои рӯйдодҳои ғайримуқобил): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A ё B) (барои рӯйдодҳои мутақобилан истисноӣ): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A ва B) (барои рӯйдодҳои мустақил): \(P(A \cap B) = P(A) \тавр P(B)\)
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1: Зар
Савол:
Эҳтимолияти пайдо шудани рақами ҷуфт ё рақами аз 4 калон дар зарба чанд аст?
Муҳокима:
Аввалан, биёед рӯйдодҳоро муайян кунем:
– Ҳодисаи А: Гирифтани адади ҷуфт (2, 4, 6)
– Ҳодисаи B: Гирифтани адади аз 4 калонтар (5, 6)
Сипас, мо эҳтимолияти ҳар як ҳодисаро муайян мекунем:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Азбаски рақами 6 дар ҳарду ҳодисаи A ва B мавҷуд аст, мо бояд \(P(A \cap B)\)-ро ҳисоб кунем:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (зеро танҳо як адад, яъне 6, дар ҳарду A ва B дохил карда шудааст)
Бо истифода аз формула барои рӯйдодҳои ғайримуқобилӣ:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Биёед махраҷҳои ин касрҳоро якхела кунем:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Пас, эҳтимолияти гирифтани адади ҷуфт ё адади аз 4 калонтар \(\frac{2}{3}\) аст.
Намунаи саволи 2: Кортҳои бозӣ
Савол:
Эҳтимолияти гирифтани туз ё бел аз колодаи кортҳои бозӣ чанд аст?
Муҳокима:
Аввалан, биёед рӯйдодҳоро муайян кунем:
– Чорабинии А: Гирифтани корти Ас (дар маҷмӯъ 4 дона, якто барои ҳар як костюм)
– Чорабинии B: Гирифтани корти бел (дар маҷмӯъ 13)
Сипас, мо эҳтимолияти ҳар як ҳодисаро муайян мекунем:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Азбаски Аси Бел дар ҳарду ҳодисаи A ва B дохил карда шудааст, мо бояд \(P(A \cap B)\)-ро ҳисоб кунем:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Бо истифода аз формула барои рӯйдодҳои ғайримуқобилӣ:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Биёед махраҷҳои ин касрҳоро якхела кунем:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Пас, эҳтимолияти ба даст овардани туз ё бел \(\frac{4}{13}\) аст.
Мисоли масъалаи 3: Тӯб дар қуттӣ
Савол:
Дар қуттӣ 3 тӯби сурх, 4 тӯби кабуд ва 5 тӯби сабз мавҷуд аст. Агар як тӯб тасодуфан кашида шавад, эҳтимолияти пайдо шудани тӯби сурх ё тӯби сабз чанд аст?
Муҳокима:
Аввалан, биёед рӯйдодҳоро муайян кунем:
– Ҳодисаи А: Гирифтани тӯби сурх (рақами 3)
– Ҳодисаи B: Гирифтани тӯби сабз (рақами 5)
Сипас, мо эҳтимолияти ҳар як ҳодисаро муайян мекунем:
– Шумораи умумии тӯбҳо = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Азбаски ҳеҷ тӯб наметавонад ҳамзамон сурх ва ҳам сабз бошад, ин рӯйдодҳо якдигарро истисно мекунанд:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Биёед махраҷҳои ин касрҳоро якхела кунем:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Пас, эҳтимолияти гирифтани тӯби сурх ё сабз \(\frac{2}{3}\) аст.
Намунаи саволи 4: Ду танга
Савол:
Агар ду танга ҳамзамон партофта шаванд, эҳтимолияти пайдо шудани ҳадди ақал як танга чанд аст?
Муҳокима:
Мо ҳодисаи А-ро муайян мекунем: эҳсос кардани ҳадди аққал як тасвир.
Партофтани ду танга чор натиҷаи имконпазир дорад:
1. ҲХ
2. ҲТ
3. TH
4. ТТ
Рӯйдодҳое, ки ҳадди аққал як тасвир доранд, инҳоянд:
– ҲТ
– TH
– ТТ
Биёед эҳтимолияти ҳар яки онҳоро ҳисоб кунем:
– Шумораи рӯйдодҳои имконпазир (ҷамъ): 4
– Шумораи чорабиниҳое, ки ҳадди аққал як тасвир доранд: 3
\[
P(A) = \frac{Шумораи рӯйдодҳо бо ҳадди ақал як сар}{Шумораи умумии рӯйдодҳо} = \frac{3}{4}
\]
Пас, эҳтимолияти пайдо шудани ҳадди ақал як тасвир \(\frac{3}{4}\) аст.
Хулоса
Муҳокимаи масъалаҳои дар боло овардашуда нишон медиҳад, ки чӣ гуна мо метавонем эҳтимолияти рӯйдоди мураккабро ҳисоб кунем, хоҳ он мутақобилан истисноӣ бошад, хоҳ ғайримуқобилӣ. Бо фаҳмидани мафҳумҳои асосӣ ва истифодаи формулаҳои дуруст, мо метавонем эҳтимолияти баъзе комбинатсияҳои рӯйдодҳоро дар вазъиятҳои гуногуни ҳаррӯза муайян кунем. Барои беҳтар шудан дар муайян кардани эҳтимолияти рӯйдодҳои мураккаб, малакаҳои худро бо масъалаҳои гуногун машқ кунед.
