Намунаҳои саволҳо дар бораи дарозӣ ва самти векторҳо
Пендахулуан
Вектор бузургие аст, ки ҳам бузургӣ ва ҳам самт дорад. Дар соҳаҳои гуногуни илм, бахусус физика ва математика, мафҳуми вектор барои ифодаи бисёр падидаҳо, аз қабили ҷойивазкунӣ, суръат ва қувва ба таври васеъ истифода мешавад. Фаҳмидани тарзи ҳисоб кардани дарозӣ (андоза) ва самти вектор барои бисёр татбиқҳои амалӣ муҳим аст.
Ин мақола барои баррасии мисолҳои масъалаҳое, ки бо дарозӣ ва самти векторҳо алоқаманданд, равона шудааст. Аз хонандагон интизор меравад, ки тавассути омӯзиши ҳолатҳои мушаххас мафҳум ва татбиқи векторҳоро дар заминаҳои гуногун аз худ кунанд.
Таърифи асосӣ
1. Дарозии (андозаи) вектор: Дарозӣ ё бузургии вектори \(\mathbf{V}\), ки дорои ҷузъҳои \((V_x, V_y, V_z)\) мебошад, бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[ |\mathbf{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} \]
2. Самти вектор: Самти векторро метавон бо кунҷ ё бо ҷузъи вектори векторӣ ифода кард. Агар вектор дар ду андоза бошад, самт одатан бо кунҷи θ бо меҳвари x ифода карда мешавад, ки онро бо истифода аз ин ҳисоб кардан мумкин аст:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{V_y}{V_x} \right) \]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Дар зер мисолҳои саволҳо дар бораи дарозӣ ва самти векторҳо оварда шудаанд.
Саволи 1: Векторҳо дар ду андоза
Савол: Векторе дода шудааст, ки ҷузъҳои он √√√√ = (-3, 4)√√ мебошанд. Дарозӣ ва самти вектори √ ...
Муҳокима:
1. Дарозии вектор:
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{9 + 16} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{25} \]
\[ |\mathbf{A}| = 5 \]
2. Самти векторӣ:
дода шудааст \(V_x = -3 \) ва \(V_y = 4 \). Пас, самти θ нисбат ба меҳвари x чунин аст:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{4}{-3} \right) \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left( -\frac{4}{3} \right) \]
Азбаски вектор дар квадранти дуюм ҷойгир аст (x манфӣ, y мусбат), мо бояд 180° илова кунем:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( -\frac{4}{3} \right) + 180° \]
\[ \theta \тахминан -53.13° + 180° \]
\[ \тета \тақрибан 126.87° \]
Пас, дарозии вектори \(\mathbf{A}\) 5 воҳид аст ва самти вектор \(126.87°\) ба меҳвари x-и мусбат аст.
Саволи 2: Векторҳо дар сеандоза
Савол: Вектори \(\mathbf{B}\) дорои ҷузъҳои \(\mathbf{B} = (2, -1, 2)\) мебошад. Дарозӣ ва вектори вектори \(\mathbf{B}\)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
1. Дарозии вектор:
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \]
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{4 + 1 + 4} \]
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{9} \]
\[ |\mathbf{B}| = 3 \]
2. Вектори воҳидӣ:
Вектори воҳидӣ вектори дарозии 1 аст, ки самти он бо вектори аслӣ якхела аст. Вектори воҳидӣ \(\mathbf{B}\) чунин муайян карда мешавад:
\[ \hat{\mathbf{B}} = \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|} \]
\[ \hat{\mathbf{B}} = \frac{(2, -1, 2)}{3} \]
\[ \hat{\mathbf{B}} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \]
Пас, дарозии вектори \(\mathbf{B}\) 3 воҳид ва вектори воҳидӣ \(\left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)\) аст.
Саволи 3: Ҳисоб кардани кунҷи байни ду вектор
Савол: Векторҳои додашуда \(\mathbf{C} = (1, 2)\) ва \(\mathbf{D} = (3, -1)\). Кунҷи байни векторҳои \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Кунҷи байни ду векторро бо истифода аз зарби нуқта ҳисоб кардан мумкин аст:
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = |\mathbf{C}| |\mathbf{D}| \cos \theta \]
Дар куҷо,
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot -1) \]
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = 3 – 2 \]
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = 1 \]
Дарозии вектор:
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]
\[ |\mathbf{D}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \]
Пас,
\[ 1 = \sqrt{5} \sqrt{10} \cos \theta \]
\[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{50}} \]
\[ \cos \theta = \frac{1}{5\sqrt{2}} \]
\[ \theta = \cos^{-1}\left( \frac{1}{5\sqrt{2}} \right) \]
\[ \theta \approx 81.79^\circ \]
Пас, кунҷи байни векторҳои \(\mathbf{C}\) ва \(\mathbf{D}\) тақрибан \(81.79^\circ\) аст.
Хулоса
Фаҳмидани дарозӣ ва самти векторҳо барои татбиқи амалӣ дар физика, муҳандисӣ ва дигар илмҳо муҳим аст. Бо фаҳмидани тарзи кор бо ҷузъҳои векторӣ, мо метавонем дарозӣ, самт ва кунҷҳои байни векторҳоро ҳисоб кунем, ки ин як маҳорати асосӣ, вале муҳим аст. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъалаҳо ва ҳалли онҳо оварда шудаанд, ки умедворем ба шумо дар омӯхтан ва татбиқи мафҳуми векторҳо кӯмак мекунанд.
Дафтар Pustaka
Гарчанде ки ин мақола дар шарҳи мафҳумҳои асосӣ ва татбиқи онҳо мустақилона аст, хонандагони манфиатдор метавонанд барои дониши ҳамаҷониба ба китобҳо ва дигар захираҳои омӯзишии амиқтар муроҷиат кунанд. Баъзе аз истинодҳои иловагӣ инҳоянд:
1. [Китоби дарсии векторҳо ва геометрияи таҳлилӣ](https://contoso.com)
2. [Физика барои олимон ва муҳандисон](https://contoso.com)
3. [Ҳисоб: Транссенденталҳои барвақт](https://contoso.com)
