Намунаҳои саволҳо дар бораи арзиши пешбинишудаи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ тақсимоти дискретӣ мебошад, ки аксар вақт дар омор барои тавсифи эҳтимолияти шумораи муайяни муваффақиятҳо дар як қатор озмоишҳои мустақилона гузаронидашуда истифода мешавад. Ин тақсимот дар соҳаҳои гуногун, ба монанди иқтисод, биология ва илмҳои иҷтимоӣ, хеле муфид аст. Як мафҳуми муҳиме, ки бояд дар тақсимоти биномӣ фаҳмида шавад, арзиши интизоршаванда аст. Дар ин мақола мафҳуми арзиши интизоршаванда дар тақсимоти биномӣ тавассути якчанд масъалаҳои намунавӣ ва муҳокимаи онҳо баррасӣ карда мешавад.
Таърифи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ шумораи муваффақиятҳоро дар озмоишҳои \( n \) тавсиф мекунад, ки ду натиҷаи имконпазир доранд: муваффақият ё нокомӣ. Ин тақсимот бо ду параметри асосӣ тавсиф мешавад:
– \( n \): шумораи озмоишҳо
– \( p \): эҳтимолияти муваффақият дар як озмоиш
Ин тақсимот аксар вақт ҳамчун B(n, p) ишора карда мешавад. Функсияи эҳтимолияти масса (PMF)-и тақсимоти биномӣ чунин аст:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ки дар он \( \binom{n}{k} \) коэффитсиенти биномӣ аст, ки чунин ҳисоб карда мешавад:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Арзиши интизоршаванда дар тақсимоти биномӣ
Қимати интизоршавандаи тақсимоти биномӣ шумораи миёнаи муваффақиятҳо дар озмоишҳои \( n \) аст ва чунин формула карда мешавад:
\[ E(X) = n \ маротиба p \]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1
Савол:
Фарз мекунем, ки як муҳаққиқ таҷрибаеро анҷом медиҳад, ки 10 ниҳолро мешинонад, ки эҳтимолияти нашъунамои ҳар кадоми онҳо 0.7 аст. Шумораи интизории ниҳолҳое, ки мерӯянд, чанд аст?
Муҳокима:
Рӯшан аст:
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.7 \)
Арзиши интизоршаванда, \(E(X) \), чунин ҳисоб карда мешавад:
\[ E(X) = n \ маротиба p \]
\[E(X) = 10 \каратаи 0.7 \]
\[ E(X) = 7 \]
Пас, арзиши интизоршавандаи шумораи тухмҳое, ки мерӯянд, 7 тухм аст.
Намунаи саволи 2
Савол:
Дар имтиҳон, эҳтимолияти дуруст ҷавоб додани донишҷӯ ба ҳар як савол 0.8 аст. Агар дар имтиҳон 15 савол мавҷуд бошад, шумораи интизории ҷавобҳои дуруст чанд аст?
Муҳокима:
Рӯшан аст:
– \( n = 15 \)
– \( p = 0.8 \)
Арзиши интизоршаванда, \(E(X) \), чунин ҳисоб карда мешавад:
\[ E(X) = n \ маротиба p \]
\[E(X) = 15 \каратаи 0.8 \]
\[ E(X) = 12 \]
Пас, арзиши интизоршавандаи шумораи ҷавобҳои дуруст 12 савол аст.
Намунаи саволи 3
Савол:
Ширкати чопӣ варақаҳои коғазро бо эҳтимолияти нуқсони 0.02 истеҳсол мекунад. Дар як рӯзи корӣ, корхона 500 варақ коғаз истеҳсол мекунад. Шумораи пешбинишудаи варақаҳои ноқиси коғаз дар як рӯз чанд аст?
Муҳокима:
Рӯшан аст:
– \( n = 500 \)
– \( p = 0.02 \)
Арзиши интизоршаванда, \(E(X) \), чунин ҳисоб карда мешавад:
\[ E(X) = n \ маротиба p \]
\[E(X) = 500 \каратаи 0.02 \]
\[ E(X) = 10 \]
Пас, арзиши интизоршавандаи шумораи варақаҳои коғази ноқис дар як рӯз 10 варақ аст.
Густариши мафҳумҳо дар фаҳмиш
1. Дисперсия ва инҳирофи стандартӣ:
Илова бар арзиши интизоршаванда, фаҳмидани дисперсия ва инҳирофи стандартӣ дар тақсимоти биномӣ низ муҳим аст. Дисперсияи тақсимоти биномӣ чунин тартиб дода мешавад:
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Инҳирофи стандартӣ решаи квадратии дисперсия аст:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Ариза дар имтиҳонҳои оморӣ:
Дар имтиҳонҳо ё санҷишҳои таълимӣ, холҳои интизоршавандаро метавон барои чен кардани холҳои миёнаи интизоршавандаи донишҷӯ ё гурӯҳи донишҷӯён истифода бурд, ки ба таҳлили барномаҳои таълимӣ ва арзёбии самаранокии таълим мусоидат мекунад.
3. Таҳқиқоти мавридӣ дар эпидемиология:
Масалан, дар як таҳқиқоти интиқоли беморӣ, эҳтимолияти шифо ёфтани беморро бо истифода аз тақсимоти биномӣ моделсозӣ кардан мумкин аст. Донистани арзиши интизоршаванда ба мутахассисони соҳаи тандурустӣ имкон медиҳад, ки захираҳои зарурии тиббиро дар асоси шумораи пешбинишудаи беморони шифоёфта ба нақша гиранд.
Хулоса
Тақсимоти биномӣ як воситаи муҳим дар омор аст, ки ба тавсифи эҳтимолияти муваффақият дар як қатор озмоишҳо мусоидат мекунад. Арзиши интизорӣ дар тақсимоти биномӣ як мафҳуми калидӣ аст, ки шумораи миёнаи муваффақиятҳои интизоршударо тавсиф мекунад. Тавассути мисолҳои баррасишуда, мо метавонем бубинем, ки чӣ гуна арзиши интизорӣ дар заминаҳои гуногун ҳисоб ва татбиқ карда мешавад. Дарки амиқи ин мафҳум ба муҳаққиқон ва мутахассисон имкон медиҳад, ки нақшаҳои беҳтар тартиб диҳанд ва қарорҳои огоҳона қабул кунанд, ки ба маълумоти эҳтимолӣ асос ёфтаанд.
Тақсимоти биномӣ на танҳо дар назарияи эҳтимолият ва омор муҳим аст, балки дар як қатор татбиқҳои амалӣ низ хеле муҳим аст. Аз ин рӯ, омӯзиши ин тақсимот ва мафҳуми арзиши интизорӣ заминаи мустаҳкамеро дар таҳлили маълумот ва қабули қарорҳо фароҳам меорад.
