Намунаҳои саволҳо дар бораи доираҳо ва тангенсҳо
Доираҳо як мавзӯи муҳим дар геометрияи матритсавӣ мебошанд, ки дар он мафҳумҳои амиқ дар бораи масофа, кунҷҳо ва шакл нишон дода мешаванд. Яке аз мафҳумҳое, ки дар ин мавзӯъ зуд-зуд баррасӣ мешаванд, хати тангенс ба доира аст. Дар ин мақола, мо якчанд масъалаҳои намунавиро, ки доираҳо ва тангенсҳоро дар бар мегиранд, баррасӣ хоҳем кард.
Фаҳмиши асосии доираҳо ва тангенсҳо
Доира
Доира шакли геометрие аст, ки аз маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳои ҳамворӣ ташкил ёфтааст ва аз нуқтаи додашуда, ки маркази доира номида мешавад, дар масофаи муайян қарор дорад. Ин масофаи муайян радиуси доира номида мешавад.
Тангенс
Тангенси доира хатест, ки ба доира дар як нуқта мерасад. Ин нуқта нуқтаи тангенсӣ номида мешавад. Тангенсҳо якчанд хосиятҳои муҳим доранд, аз ҷумла:
– Хатти тангенс ҳамеша ба радиуси давра дар нуқтаи тангенсӣ амудӣ аст.
– Дарозии тангенс аз нуқтае, ки берун аз доира аст, то доира яксон аст, агар аз он нуқта ду тангенс гузаронида шаванд.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокимаҳо
Дар зер мо якчанд саволҳои намунавиро пешниҳод мекунем, ки мафҳуми доираҳо ва тангенсҳоро муфассал баррасӣ мекунанд.
Намунаи саволи 1: Ёфтани дарозии хати тангенс
Савол:
Доирае дода шудааст, ки марказаш \(O\) ва радиусаш \(r = 6\, \text{cm}\ аст. Аз нуқтаи \(P\) берун аз доира, ки аз маркази доира 10 см дур аст, ду тангенс \(PA\) ва \(PB\) ба доира кашида мешаванд. Дарозии тангенс \(PA\)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Дар ин масъала, мо метавонем теоремаи Пифагорро истифода барем. Секунҷаи \(\triangle OAP\) кашед:
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (масофа аз нуқтаи берунӣ то маркази доира)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (радиуси доира)
– \(PA\) хати тангенс аст, ки бояд ёфт шавад
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Пас, дарозии хати тангенс (PA) 8 см аст.
Намунаи саволи 2: Муайян кардани нуқтаи тангенсӣ
Савол:
Доирае бо муодилаи \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) ва хати рости \(y = 2x + 1\) дода шудааст. Нуқтаи тангенсиро байни доира ва хати рост муайян кунед.
Муҳокима:
Аввалан, мо марказ ва радиуси доираро муайян мекунем:
– Марказ \(O(3, 4)\)
– Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)
Барои ёфтани нуқтаи тангенсӣ, фарз мекунем, ки нуқтаи тангенсӣ \(T(x_1, y_1)\) аст, ки он низ дар хати рости \(y = 2x + 1\) ҷойгир аст. Пас:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) инчунин бояд муодилаи доираро қонеъ гардонад:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
\(y_1 = 2x_1 + 1\)-ро ба муодилаи доираӣ иваз кунед:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Мо бояд ду майдони мураббаъро ҳисоб кунем.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Ҳарду натиҷаро якҷоя кунед:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Аз ҳарду тараф 25-ро тарҳ кунед:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Муодилаи квадратиро ҳал кунед:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Қимати \(y_1\)-ро ҳисоб кунед:
Кадоме аз инҳо шартҳои y = 2x + 1-ро қонеъ мекунанд:
– Агар \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) бошад, пас \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Агар \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) бошад, пас \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Арзёбӣ:
Пас, мо ду нуқтаи буриши муодилаи давраро бо он хати рост ба даст меорем.
Намунаи саволи 3: Муайян кардани муодилаи хати тангенсӣ
Савол:
Доирае дода шудааст, ки муодилаи \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) дорад. Муодилаи хати тангенсро ба доирае, ки аз нуқтаи \((6, 7)\) мегузарад, муайян кунед.
Муҳокима:
Тангенс ба доирае, ки марказаш \((h, k)\) ва радиуси \(r\) аз нуқтаи берунаи маълум дорад, бо истифода аз муодилаи зерин ёфта мешавад:
Хатти тангенс аз нуқтаи берунаи \((x_1, y_1)\) мегузарад:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Нуқтаи берунаро иваз кунед \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Муодилаи хати тангенс чунин аст:
\[
x + y = 9
\]
Пас, тағирёбии муодилаи хати рост тавассути нуқтаи хати доира хеле калон аст ва вобаста ба натиҷа ё тасвири визуалӣ метавонад тағйир ёбад.
Хулоса
Муҳокимаи доираҳо ва тангенсҳо якчанд ҷанбаҳои асосии математикаро фаро мегирад, аз истифодаи формулаҳои асосӣ ба монанди теоремаи Пифагор то ҳалли муодилаҳои квадратӣ. Тавассути ин мисолҳо, мо метавонем фаҳмиши беҳтареро дар бораи чӣ гуна татбиқ кардани ин мафҳумҳо дар вазъиятҳои нисбатан мураккаб инкишоф диҳем. Умедворем, ки ин мақола ба шумо кӯмак кард, ки тасвири равшанеро дар бораи чӣ гуна муносибат кардан ва ҳалли масъалаҳои марбут ба доираҳо ва тангенсҳо фароҳам оваред.
