Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи мафҳуми ҳосилаҳои функсия
Ҳосилаи функсия як мафҳуми бунёдӣ дар ҳисоб аст, ки дар фанҳои гуногун, аз қабили физика, иқтисод ва муҳандисӣ, татбиқи васеъ дорад. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъала баррасӣ ва мафҳуми ҳосилаи функсия барои фаҳмиши амиқтари ин мавзӯъ баррасӣ карда мешавад.
Таърифи асосии ҳосилаҳо
Пеш аз он ки ба саволҳои мисолӣ гузарем, беҳтар аст, ки таъриф ва асосҳои ҳосилаҳоро мухтасар баррасӣ кунем. Ҳосилаи функсияи \(f(x) \) дар нуқтаи \(x = a \) чунин аст:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Функсияи \(f'(x) \) функсияи ҳосилаи \(f(x) \) номида мешавад.
Намунаи саволи 1: Ҳосилаҳои асосии полиномӣ
Савол:
Ҳосилаи аввали функсияи \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Қоидаи асосии ҳосиларо истифода баред \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Барои \( 3x^3 \ ):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Барои \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Барои \(2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Барои \( -7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Ҳамин тариқ:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Намунаи саволи 2: Ҳосилаҳои функсияҳои тригонометрӣ
Савол:
Ҳосилаи аввали функсияи \(g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).-ро ёбед.
Муҳокима:
Қоидаи ҳосили \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) -ро бо \( u(x) = \sin(x) \) ва \( v(x) = \cos(x) \) истифода баред.
1. Ҳосилаи \( \sin(x) \) ин аст \( \cos(x) \), бинобар ин \( u'(x) = \cos(x) \).
2. Ҳосилаи \( \cos(x) \) ин аст \( -\sin(x) \), бинобар ин \( v'(x) = -\sin(x) \).
Ивазкунии \( u'(x) \) ва \( v'(x) \):
$(g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) $$
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Натиҷаи ниҳоӣ:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Мисоли 3: Ҳосилаи функсияи экспоненсиалӣ
Савол:
Ҳосилаи аввали функсияи \(h(x) = e^{2x} \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Қоидаи ҳосилаи функсияи экспоненсиалии \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \)-ро бо \( k = 2 \) истифода баред.
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
Натиҷаи ниҳоӣ:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Намунаи саволи 4: Ҳосилаи функсияи логарифмӣ
Савол:
Ҳосилаи аввали функсияи \(p(x) = \ln(3x + 1) \)-ро ёбед.
Муҳокима:
Қоидаи ҳосилаи функсияи логарифмии \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \)-ро бо \( u(x) = 3x + 1 \) истифода баред.
1. Ҳосилаи дохилии \(u(x) = 3x + 1 \)-ро ёбед:
\[ u'(x) = 3 \]
2. Қоидаи ҳосилаи логарифмиро истифода баред:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Натиҷаи ниҳоӣ:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Намунаи саволи 5: Татбиқи ҳосилаҳо - Максимум ва Минимум
Савол:
Қиматҳои максималӣ ва минималии функсияи q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \)-ро дар фосилаи \(x \in [-2, 2] \) ёбед.
Муҳокима:
1. Ҳосилаи аввалини \( q(x) \)-ро ёбед:
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. Нуқтаҳои статсионариро бо роҳи ҳалли \(q'(x) = 0 \) пайдо кунед:
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Нуқтаҳои статсионарӣ (x = 2) ва (x = -1) мебошанд.
3. \( q(x) \)-ро дар нуқтаҳои муҳим ва сарҳадҳои фосилавӣ арзёбӣ кунед:
\[q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Арзёбии натиҷаҳо:
– Қимати максималӣ дар \(x = 2 \) бо \(q(2) = 15 \) ба амал меояд.
– Қимати ҳадди ақал дар \(x = -1 \) бо \(q(-1) = -12 \) ба амал меояд.
Penutup
Дарки амиқи мафҳуми ҳосилаи функсия дар соҳаҳои гуногуни илм муҳим аст. Умедворем, ки мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда ба шумо дар амиқтар фаҳмидани ин мафҳум кӯмак мекунанд. Дар амал, мо аксар вақт бояд қоидаҳо ва теоремаҳои гуногунро барои ҳалли масъалаҳои мураккабтар якҷоя кунем. Омӯзиши хуб!
