Намунаҳои саволҳо дар бораи таркиби табдилдиҳӣ бо истифода аз матритсаҳо
Табдилдиҳии геометрӣ мавзӯи муҳим дар математика, бахусус дар геометрия ва алгебраи хаттӣ мебошад. Ин табдилдиҳӣ метавонад тарҷумаҳо, гардишҳо, инъикосҳо ва васеъкуниро дар бар гирад. Дар ин мақола, мо меомӯзем, ки чӣ гуна таркиби табдилоти гуногунро бо истифода аз матритсаҳо ифода ва ҳал кардан мумкин аст. Мо инчунин мисолҳои масъалаҳо ва ҳалли онҳоро пешниҳод хоҳем кард.
1. Муқаддима ба табдилдиҳӣ бо истифода аз матритсаҳо
Табдилоти геометрӣ метавонанд бо матритсаҳо ифода карда шаванд. Масалан, табдилоти гардиш, тарҷума, инъикос ва васеъкуниро метавон дар шакли матритса чунин ифода кард:
1. Тарҷума
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Гардиш
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Мулоҳиза дар бораи меҳвари X
\[
\text{Reflection X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Васеъкунӣ (калонкунӣ/миқёспазирӣ)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Таркиби табдилот бо матритсаҳо
Таркиби табдилдиҳӣ татбиқи пайдарпайи ду ё зиёда табдилдиҳӣ ба объект аст. Барои ҳисоб кардани таркиби табдилдиҳӣ бо истифода аз матритсаҳо, мо танҳо матритсаҳоеро, ки табдилёбиро ифода мекунанд, зарб мекунем.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Савол
Нуқтаи P(2, 3) додашуда, натиҷаи табдилдиҳии зеринро ёбед:
1. Гардиши гардиш дар самти ақрабаки соат (CW) (90^\circ\)
2. Васеъкунӣ бо омили миқёси 2
3. Тарҷумаи (1, -2)
Пембахасан
1. Гардиши гардиш дар даври 90-ум (180 давр) CW
Матритса барои гардиши \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Татбиқи табдили гардиш дар нуқтаи P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Нуқтаи P пас аз табдили гардиш P'(3, -2) аст.
2. Васеъкунӣ бо омили миқёси 2
Матритса барои васеъкунӣ бо омили миқёси 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 ва 0 \\ 0 ва 2 \end{pmatrix}
\]
Татбиқи табдили васеъшавӣ дар нуқтаи P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Нуқтаи P' пас аз табдили васеъшавӣ P”(6, -4) аст.
3. Тарҷумаи (1, -2)
Амалҳои тарҷума дар зер оварда шудаанд:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Татбиқи табдили тарҷума дар нуқтаи P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Пас, нуқтаи ниҳоӣ пас аз татбиқи ҳамаи табдилотҳо P(7, -6) аст.
3. Ҳисоб кардани таркиби табдилдиҳӣ
Саволҳои иловагӣ
Нуқтаи Q(1, 2) ва табдили зерин дода шудааст:
1. Мулоҳиза дар бораи меҳвари X.
2. Гардиши гардиш дар самти ақрабаки соат (CW).
Пембахасан
1. Мулоҳиза дар бораи меҳвари X
Матритсаи инъикос дар бораи меҳвари X:
\[
\begin{pmatrix} 1 ва 0 \\ 0 ва -1 \end{pmatrix}
\]
Татбиқи табдили инъикос дар нуқтаи Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Нуқтаи Q пас аз табдили инъикос Q'(1, -2) аст.
2. Гардиши гардиш дар даври 180-ум (180 давр) CW
Матритса барои гардиш дар самти соат \(180^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Татбиқи табдили гардиш \(180^\circ\) дар нуқтаи Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Пас, нуқтаи ниҳоӣ пас аз татбиқи ҳамаи табдилотҳо Q(-1, 2) аст.
Penutup
Усули таркиби табдилдиҳӣ бо истифода аз матритсаҳо барои содда кардан ва ҳисоб кардани табдилҳои геометрӣ хеле муфид аст. Бо риояи қадамҳои дар боло зикршуда, мо метавонем намудҳои гуногуни табдилдиҳиро ба як нуқта ё дигар объекти геометрӣ ба осонӣ дарк ва татбиқ кунем. Омӯхтани истифодаи матритсаҳо дар табдилдиҳӣ инчунин истифодаи онҳоро дар соҳаҳои гуногун, ба монанди физика, графикаи компютерӣ ва ғайра осонтар мекунад.
