Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи ҷузъҳои векторӣ
Векторҳо як мафҳуми асосӣ дар физика ва математика мебошанд, ки аксар вақт барои тавсифи миқдорҳо бо ҳам бузургӣ ва ҳам самт истифода мешаванд. Фаҳмиши пурраи векторҳо барои ҳалли масъалаҳои гуногун дар илм ва муҳандисӣ муҳим аст. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъалаҳои марбут ба ҷузъҳои векторӣ ва шарҳҳои онҳо баррасӣ карда мешаванд.
Муқаддима ба векторҳо
Вектор бузургие аст, ки ду хусусияти асосӣ дорад: бузургӣ ва самт. Масалан, суръат бузургии векторӣ аст, зеро он ҳам бузургӣ (чӣ қадар суръат) ва ҳам самт (ба куҷо меравад) дорад. Барои ифодаи векторҳо, мо аксар вақт тирҳоро истифода мебарем, ки дар он дарозии тир бузургии онро ифода мекунад ва самти тир самти онро нишон медиҳад.
Вектор дар фазои дученака аксар вақт ҳамчун 𝐀 = 𝑎ᵢ + 𝑏ⱼ ифода карда мешавад, ки дар он 𝑎 ва 𝑏 ҷузъҳои вектор дар баробари меҳварҳои x ва y мебошанд ва 𝐢 ва 𝐣 векторҳои воҳидӣ дар баробари меҳварҳои x ва y мебошанд.
Намунаи саволи 1: Муайян кардани ҷузъҳои векторӣ аз рӯи намояндагии графикӣ
Савол: Вектори 𝐀 нуқтаи ибтидоӣ дар нуқтаи ибтидоӣ (0,0) ва нуқтаи ниҳоӣ дар координатаҳо (4,3) дорад. Ҷузъҳои вектори 𝐀-ро муайян кунед.
Баҳс: Векторе, ки аз нуқтаи ибтидоӣ (0,0) то нуқтаи ниҳоӣ (4,3) сар мешавад, метавонад дар шакли компонентӣ чунин навишта шавад: 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣. Компонент дар меҳвари x 4 ва дар меҳвари y 3 аст.
Намунаи саволи 2: Муайян кардани бузургии вектор
Масъала: Андозаи вектори 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣-ро ҳисоб кунед.
Баҳс: Бузургӣ (ё андозаи) вектори 𝐀-ро бо истифода аз формулаи Пифагор ҳисоб кардан мумкин аст, яъне:
\[ |𝐀| = \sqrt{𝑎² + 𝑏²} \]
Барои вектори 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣, пас:
\[ |𝐀| = \sqrt{4² + 3²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Пас, бузургии вектори 𝐀 5 воҳид аст.
Мисоли 3: Иловаи ду вектор
Савол: Ду вектори додашуда: 𝐁 = 2𝐢 + 3𝐣 ва 𝐂 = -𝐢 + 4𝐣. Ҷамъи векторҳои 𝐁 ва 𝐂-ро муайян кунед.
Баҳс: Барои ҷамъ кардани ду вектор, мо танҳо компонентҳоро дар як самти ҳар як вектор ҷамъ мекунем:
\[ 𝐁 + 𝐂 = (2𝐢 + 3𝐣) + (-𝐢 + 4𝐣) \]
\[ = (2 + (-1))𝐢 + (3 + 4)𝐣 \]
\[ = 1𝐢 + 7𝐣 \]
Пас, натиҷаи ҷамъ кардани векторҳои 𝐁 ва 𝐂 чунин аст: 𝐃 = 𝐢 + 7𝐣.
Намунаи саволи 4: Ҳисоб кардани кунҷи байни ду вектор
Масъала: Ду вектори додашуда: 𝐀 = 3𝐢 + 4𝐣 ва 𝐁 = 4𝐢 – 3𝐣. Кунҷи байни ду векторро ҳисоб кунед.
Баҳс: Кунҷи байни ду векторро бо истифода аз формулаи косинус ҳисоб кардан мумкин аст:
\[ \cos(𝜃) = \frac{𝐀 · 𝐁}{|𝐀| |𝐁|} \]
1. Зарби нуқтаро (𝐀 · 𝐁) ҳисоб кунед:
\[ 𝐀 · 𝐁 = (3𝐢 + 4𝐣) · (4𝐢 – 3𝐣) \]
\[ = (3 4) + (4 -3) \]
\[ = 12 – 12 \]
\[ = 0 \]
2. Бузургии векторҳои 𝐀 ва 𝐁-ро ҳисоб кунед:
\[ |𝐀| = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |𝐁| = \sqrt{4² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Ба формулаи косинус иваз кунед:
\[ \cos(𝜃) = \frac{0}{5 5} = 0 \]
Азбаски \(\cos(𝜃) = 0\), пас \(𝜃 = 90°\). Пас, кунҷи байни ду вектор 90 дараҷа аст.
Намунаи саволи 5: Ҳисоб кардани ҳосили байниҳамдигарии векторҳо
Масъала: Бо назардошти ду вектор дар се андоза, 𝐀 = 𝐢 + 2𝐣 + 3𝐤 ва 𝐁 = 4𝐢 + 5𝐣 + 6𝐤, вектори зарби салибро 𝐀 × 𝐁 ҳисоб кунед.
Баҳс: Ҳосили байниҳамдигарии ду вектор дар се андоза (𝐀 × 𝐁) чунин аст:
\[ 𝐀 × 𝐁 = \begin{vmatrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \]
\[ = 𝐢 (2 6 – 3 5) – 𝐣 (1 6 – 3 4) + 𝐤 (1 5 – 2 4) \]
\[ = 𝐢 (12 – 15) – 𝐣 (6 – 12) + 𝐤 (5 – 8) \]
\[ = 𝐢 (-3) – 𝐣 (-6) + 𝐤 (-3) \]
\[ = -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 \]
Пас, натиҷаи зарби байниҳамдигарии 𝐀 × 𝐁 -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 аст.
Хулоса
Дар физика ва математика, векторҳо роҳи хеле муфиди ифодаи миқдорҳое мебошанд, ки ҳам самт ва ҳам бузургӣ доранд. Бо фаҳмидани тарзи муайян кардани ҷузъҳои векторӣ, ҳисоб кардани бузургиҳо, ҷамъ кардани векторҳо ва ҳисоб кардани кунҷҳо байни векторҳо ва маҳсулоти байниҳамдигарӣ, мо метавонем масъалаҳои гуногунро бо векторҳо ҳал кунем. Муҳокимаи масъалаҳои намунавии дар боло овардашуда барои амиқтар фаҳмидани ин мафҳум мусоидат мекунад. Дар ниҳоят, қобилияти фаҳмидан ва кор бо векторҳо як маҳорати хеле муфид дар соҳаҳои гуногуни илм ва муҳандисӣ мебошад.
