Намунаи саволҳои муҳокимаи якҷоя
Комбинатсияҳо як мафҳуми муҳим дар назарияи эҳтимолият ва омор мебошанд, ки ба мо имкон медиҳанд, ки шумораи роҳҳои интихоби объектҳоро аз маҷмӯа новобаста аз тартиб ҳисоб кунем. Дар комбинатсияҳо, тартиби интихоб бетағйир боқӣ мемонад, бар хилофи пермутатсияҳо, ки дар он тартиби интихоб калидӣ аст. Комбинатсияҳо дар соҳаҳои гуногун, аз илми компютерӣ ва биология то иқтисод ва математика истифода мешаванд. Дар ин мақола мафҳуми асосии комбинатсияҳо шарҳ дода мешавад ва якчанд мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳо барои кӯмак ба фаҳмиши шумо пешниҳод карда мешаванд.
Консепсияи асосии комбинатсия
Пеш аз он ки ба масъалаҳои мисолӣ гузарем, биёед бо фаҳмиши асосии комбинатсияҳо оғоз кунем.
Маҷмӯи объектҳои \(n\), ки дар як вақт \(r\) гирифта шудаанд, бо аломати \(\binom{n}{r}\) ё \(\mathbf{C}(n, r)\) ишора карда мешавад. Формула барои ҳисоб кардани комбинатсия чунин аст:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) шумораи умумии объектҳои дастрас аст.
– \( r \) шумораи объектҳое мебошад, ки бояд интихоб карда шаванд.
– ! (факториал) як амалиёти риёзӣ аст, ки ададро ба ҳамаи ададҳои мусбати зери он то 1 зарб мекунад.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1: Интихоби даста аз гурӯҳи донишҷӯён
Савол:
Дар як синф 10 донишҷӯ ҳаст. Бо чанд роҳ 4 донишҷӯро аз синф барои иштирок дар озмун интихоб кардан мумкин аст?
Муҳокима:
Истифодаи формулаи якҷояшавӣ:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Ҳисоб кардани факториал:
– \( 10! = 10 \маротиба 9 \маротиба 8 \маротиба 7 \маротиба 6! \)
– \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
– \( 6! \) аллакай дар боло аст, аз ин рӯ он метавонад 6!-ро дар \(10!\) бекор кунад.
Пас:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Пас, 210 роҳи интихоби 4 донишҷӯ аз 10 донишҷӯ вуҷуд дорад.
Намунаи саволи 2: Комбинатсияҳо бо истифода аз маҷмӯи кортҳо
Савол:
Аз як колодаи 52 корт, чанд роҳи интихоби дасти 5-кортаи покер вуҷуд дорад?
Муҳокима:
Истифодаи формулаи якҷояшавӣ:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Ҳисоб кардани факториал:
– \( 52! = 52 \маротиба 51 \маротиба 50 \маротиба 49 \маротиба 48 \маротиба 47! \)
– \( 5! = 5 \ маротиба 4 \ маротиба 3 \ маротиба 2 \ маротиба 1 = 120 \)
– \( 47! \) аллакай дар боло аст, аз ин рӯ он метавонад 47!-ро дар \(52!\) бекор кунад.
Пас:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Пас, 2,598,960 роҳи интихоби 5 корт аз 52 корт вуҷуд дорад.
Намунаи саволи 3: Ҳисоб кардани комбинатсияҳо барои интихоби дастаи варзишӣ
Савол:
Дастаи баскетбол аз 15 бозигар иборат аст. Агар мураббӣ хоҳад, ки 5 бозигарро ҳамчун бозигари асосӣ интихоб кунад, ин корро бо чанд роҳ анҷом додан мумкин аст?
Муҳокима:
Истифодаи формулаи якҷояшавӣ:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Ҳисоб кардани факториал:
– \( 15! = 15 \маротиба 14 \маротиба 13 \маротиба 12 \маротиба 11 \маротиба 10! \)
– \( 5! = 5 \ маротиба 4 \ маротиба 3 \ маротиба 2 \ маротиба 1 = 120 \)
– \( 10! \) аллакай дар боло аст, аз ин рӯ он метавонад 10!-ро дар \(15!\) бекор кунад.
Пас:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Пас, 3,003 роҳи интихоби 5 бозингар аз 15 бозингар вуҷуд дорад.
Намунаи саволи 4: Комбинатсияҳо дар биология
Савол:
Дар боғ 8 намуди гул мавҷуд аст. Барои сохтани гулдаста бо чанд роҳ 3 намуди гулро интихоб кардан мумкин аст?
Муҳокима:
Истифодаи формулаи якҷояшавӣ:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Ҳисоб кардани факториал:
– \( 8! = 8 \маротиба 7 \маротиба 6 \маротиба 5! \)
– \( 3! = 3 \маротиба 2 \маротиба 1 = 6 \)
– \( 5! \) аллакай дар боло аст, аз ин рӯ он метавонад 5!-ро дар \(8!\) бекор кунад.
Пас:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Пас, 56 роҳи интихоби 3 намуди гул аз 8 намуди гул вуҷуд дорад.
Намунаи саволи 5: Мутобиқшавӣ дар сохтани даста
Савол:
Шумо дар рафи китоб 12 китоби гуногун доред. Шумо бо чанд роҳ аз 12 китоб 5 китобро интихоб карда метавонед?
Муҳокима:
Истифодаи формулаи якҷояшавӣ:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Ҳисоб кардани факториал:
– \( 12! = 12 \маротиба 11 \маротиба 10 \маротиба 9 \маротиба 8 \маротиба 7! \)
– \( 5! = 5 \ маротиба 4 \ маротиба 3 \ маротиба 2 \ маротиба 1 = 120 \)
– \( 7! \) аллакай дар боло аст, аз ин рӯ он метавонад 7!-ро дар \(12!\) бекор кунад.
Пас:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Пас, 792 роҳи интихоби 5 китоб аз 12 китоб вуҷуд дорад.
Хулоса
Комбинатсияҳо дар соҳаҳои гуногун мафҳуми хеле муфид мебошанд, хусусан вақте ки мо бояд шумораи роҳҳои интихоби объектҳоро бидуни новобаста аз тартиб донем. Бо истифода аз формулаи асосии комбинатсия \(\binom{n}{r}\), мо метавонем онҳоро зуд ва ба осонӣ ҳисоб кунем, ба шарте ки мо фаҳмем, ки чӣ гуна факториалҳо кор мекунанд. Тавассути мисолҳои дар боло овардашуда, мо умедворем, ки дарки пурратар ва равшантари комбинатсияҳоро ба даст орем. Барои тақвияти минбаъдаи фаҳмиши худ, машқ карданро бо масъалаҳои гуногун идома диҳед.
