Намунаи саволи баҳсӣ дар бораи коэффитсиенти детерминатсия
Коэффитсиенти муайянкунӣ (R²) як параметри муҳим дар таҳлили регрессия мебошад, ки нишон медиҳад, ки модели регрессия то чӣ андоза тағирёбии воқеии маълумотро хуб шарҳ медиҳад. Дар ин мақола, мо мафҳуми коэффитсиенти муайянкуниро тавассути мисоли муфассал ва муҳокима шарҳ медиҳем.
Консепсияи асосии коэффитсиенти муайянкунӣ
Коэффитсиенти детерминатсия ё \( R^2 \) дар миқёси аз 0 то 1 чен карда мешавад, ки дар он:
– \( R^2 = 0 \) нишон медиҳад, ки модели регрессия тамоман қодир нест тағйирпазирии маълумотро шарҳ диҳад.
– \( R^2 = 1 \) нишон медиҳад, ки модели регрессия қодир аст тамоми тағйирпазирии маълумотро комилан шарҳ диҳад.
Формулаи асосии ҳисоб кардани коэффитсиенти детерминатсия чунин аст:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Ди мана:
– SSR (Sum of Squared Residuals) ҷамъи квадратҳои фарқиятҳои байни арзишҳои пешбинишудаи модел ва арзишҳои воқеӣ мебошад.
– SST (Маҷмӯи умумии мураббаъҳо) маҷмӯи мураббаъҳои фарқиятҳои байни арзиши воқеӣ ва миёнаи арзишҳои воқеӣ мебошад.
Намунаи масъалаҳо
Барои фаҳмидани амиқтари ҳисобкунии коэффитсиенти детерминатсия, биёед як масъалаи мисолиро баррасӣ кунем.
Намунаи мушкилот:
Фарз мекунем, ки мо маълумот дар бораи шумораи соатҳои таҳсил (X) ва холҳои имтиҳон (Y)-и 10 донишҷӯ дорем:
| Донишҷӯён | Соатҳои таҳсил (X) | Холи имтиҳон (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Мо як модели оддии регрессияи хаттиро эҷод хоҳем кард, ки дар он холҳои имтиҳон (Y) дар асоси соатҳои таҳсил (X) пешгӯӣ карда мешаванд.
Пембахасан
1. Сохтани модели оддии регрессияи хаттӣ
Модели соддаи регрессияи хаттӣ шакли зеринро дорад:
\[ Y = a + bX \]
Ди мана:
– \( Y \) холҳои пешбинишудаи санҷиш аст.
– \( X \) шумораи соатҳои таълимӣ аст.
– \( a \) нуқтаи буриш аст (нуқтаи буриш дар меҳвари Y ҳангоми X = 0).
– \( b \) нишебӣ (майли хати регрессия) аст.
Барои ҳисоб кардани параметрҳои \(a \) ва \(b \), мо аз формулаи зерин истифода мебарем:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
ки дар он \(n \) шумораи маълумот аст (дар ин ҳолат n = 10).
Аз ҷадвал мо метавонем ҳисоб кунем:
– \(\сум{X} = 36\)
– \(\ҷамъ{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\сум{Y^2} = 50428\)
– \(\сум{XY} = 2576\)
Биёед аввал b-ро ҳисоб кунем:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Сипас, мо ҳисоб мекунем:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ а = 56 \]
Пас, модели регрессияи хаттӣ, ки мо ба даст меорем, чунин аст:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Арзиши пешгӯишударо (Y') ҳисоб кунед
Сипас, мо арзиши пешгӯишавандаи \(Y' \)-ро барои ҳар як \(X \) ҳисоб мекунем:
| Донишҷӯён | Соатҳои таҳсил (X) | Холи имтиҳон (Y) | Холи пешбинишуда (Y') |
|——-|——————–|——————––|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Ҳисоб кардани SSR ва SST
Баъдан, мо SSR ва SST-ро ҳисоб мекунем, то \(R^2 \)-ро ба даст орем.
РСС:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y - \bar{Y})^2} \]
Ди мана:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Ҳисоб кардани коэффитсиенти муайянкунӣ \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Хулоса
Аз ҳисоби дар боло овардашуда, мо коэффитсиенти муайянкуниро ба даст овардем (R2 = 0.59). Ин нишон медиҳад, ки модели регрессияи хаттии сохтаи мо метавонад тақрибан 59% тағирёбии холҳои имтиҳонро дар асоси соатҳои таҳсил шарҳ диҳад. 41% боқимондаи тағирёбанда метавонад аз сабаби омилҳои дигаре бошад, ки дар модел дохил карда нашудаанд.
Бо дарки қадамҳо ва ҳисобҳои дар боло зикршуда, мо метавонем аҳамияти коэффитсиенти муайянкуниро дар арзёбии он, ки модели регрессияи сохтаи мо то чӣ андоза тағйирпазирии воқеии маълумотро шарҳ медиҳад, бубинем. Он як воситаи хеле муфид дар таҳлили оморӣ ва моделсозии маълумот мебошад.
