Намунаҳои саволҳо дар бораи робитаи байни матритсаҳо ва табдилдиҳӣ
Пендахулуан
Матритса массиви росткунҷаи рақамҳо ё унсурҳоест, ки дар сатрҳо ва сутунҳо ҷойгир шудаанд. Матритсаҳо дар соҳаҳои гуногун, аз қабили омор, физика, иқтисод ва махсусан дар табдилоти геометрӣ дар математика ва графикаи компютерӣ васеъ истифода мешаванд. Матритсаҳо инчунин воситаҳои муассирро барои коркарди маълумот ва тавсиф ва ҳалли масъалаҳои гуногуни математикӣ пешниҳод мекунанд. Яке аз татбиқи муҳими матритсаҳо дар табдилоти хаттӣ мебошад, ки дар он амалиётҳои матритсавӣ барои тағир додани шакл ва мавқеи объектҳои геометрӣ дар фазо истифода мешаванд.
Дар ин мақола, мо баъзе мисолҳои масъалаҳоеро баррасӣ хоҳем кард, ки тарзи истифодаи матритсаҳоро барои табдилоти хаттӣ нишон медиҳанд ва ҳалли онҳоро муфассал шарҳ медиҳем.
Таърифҳо ва қайдҳо
Барои оғоз, биёед баъзе таърифҳо ва қайдҳои асосиро, ки дар ин муҳокима истифода мешаванд, баррасӣ кунем:
1. Матритса: Массиви росткунҷаи ададҳо, ки дар сатрҳо ва сутунҳо ҷойгир шудаанд.
2. Табдилдиҳии хаттӣ: Функсияе, ки як векторро гирифта, онро бо истифода аз амалҳои матритсавӣ ба вектори дигар табдил медиҳад.
3. Вектор: Унсури маҷмӯи векторҳо, ки дарозӣ ва самт дорад ва одатан ҳамчун сутун ё сатр дар матритса ифода карда мешавад.
Нишонаҳои матритса одатан бо ҳарфҳои калон навишта мешаванд, масалан, \( A \), \( B \) ва векторҳо бо ҳарфҳои ғафс ё бо тирча дар болои онҳо навишта мешаванд, масалан, \( \mathbf{v} \) ё \( \vec{v} \).
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1: Табдили гардишӣ
Матритсаи табдили гардиш \( R \) бо кунҷи \( \тета \) дар фазои дученака дода шудааст:
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]
Вектори \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Натиҷаи табдилдиҳии вектори \( \mathbf{v} \)-ро ба матритсаи \( R \) муайян кунед, агар \( \theta = \frac{\pi}{2} \).
Муҳокима:
Аввалан, арзишҳои кунҷро \( \theta = \frac{\pi}{2} \) ба матритсаи \( R \) ворид кунед:
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Баъдан, матритсаи \( R \)-ро ба вектори \( \mathbf{v} \) зарб кунед:
\[ R \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Пас, натиҷаи табдил додани вектори \( \mathbf{v} \) ба матритсаи \( R \) барои кунҷи \( \theta = \frac{\pi}{2} \) вектори \( \mathbf{v'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) мебошад.
Саволи 2: Табдили миқёс
Матритсаи табдили миқёс \( S \) дар фазои дученака чунин дода шудааст:
\[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Вектори \( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Натиҷаи табдилдиҳии вектори \( \mathbf{u} \)-ро ба матритсаи \( S \) ёбед.
Муҳокима:
Матритсаи \( S \)-ро ба вектори \( \mathbf{u} \) зарб кунед:
\[ S \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \cdot 1) + (0 \cdot 2) \\ (0 \cdot 1) + (3 \cdot 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \]
Пас, натиҷаи табдил додани вектори \( \mathbf{u} \) аз ҷониби матритсаи \( S \) вектори \( \mathbf{u'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \) мебошад.
Саволи 3: Табдили инъикос
Бо назардошти матритсаи инъикоси \( F \) нисбат ба меҳвари y:
\[ F = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Натиҷаи табдил додани вектори \( \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)-ро бо истифода аз матритсаи инъикос \( F \) ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Матритсаи \( F \)-ро ба вектори \( \mathbf{w} \) зарб кунед:
\[ F \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \cdot 3) + (0 \cdot 4) \\ (0 \cdot 3) + (1 \cdot 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
Пас, натиҷаи табдил додани вектори \( \mathbf{w} \) аз ҷониби матритсаи \( F \) вектори \( \mathbf{w'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \) мебошад.
Саволи 4: Табдилотҳои якҷоя
Фарз мекунем, ки ду матритсаи табдилдиҳӣ мавҷуд аст, матритсаи гардиш \( R \)-и кунҷи \( \theta = \frac{\pi}{4} \) ва матритсаи миқёс \( S \) чунин:
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
\[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Ин табдилдиҳиҳоро якҷоя кунед ва онҳоро ба вектори \( \mathbf{z} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) татбиқ кунед.
Муҳокима:
Аввалан, матритсаи табдили якҷояшударо ҳисоб кунед \( RS \):
\[ RS = R \cdot S = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) & (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3) \\ (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) & (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Сипас, матритсаи якҷояшудаи \(RS \)-ро ба вектори \(\mathbf{z} \) зарб кунед:
\[ RS \mathbf{z} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\sqrt{2} \cdot 1) + (-\frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 1) \\ (\sqrt{2} \cdot 1) + (\frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} – \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Пас, натиҷаи табдили якҷояи вектори \( \mathbf{z} \) аз ҷониби матритсаи \( RS \) чунин аст:
\[ \mathbf{z'} = \begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{5\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]
Хулоса
Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъалаҳоеро баррасӣ кардем, ки нишон медиҳанд, ки чӣ гуна матритсаҳо барои табдилоти хаттӣ истифода мешаванд. Табдилоти матритсавӣ дар бисёр соҳаҳо, бахусус графикаи компютерӣ ва таҳлили маълумот, нақши муҳим мебозанд. Бо фаҳмидани асосҳои табдилоти матритсавӣ, ба монанди гардиш, миқёс ва инъикос, мо метавонем ба татбиқи ин мафҳумҳо барои масъалаҳои мураккабтар гузарем. Азхуд кардани ин мафҳумҳо барои ҳар касе, ки дар соҳаи математика, физика ё илми компютерӣ кор мекунад, бебаҳо хоҳад буд.
