Намунаҳои саволҳо дар бораи қисматҳои конуси гиперболӣ
Пендахулуан
Дар математика, буриши конусӣ, ки аксар вақт онро буриши конусӣ меноманд, каҷест, ки аз буриши конус ва ҳамворӣ ба даст оварда мешавад. Чор намуди асосии буришҳои конусӣ мавҷуданд: доираҳо, эллипсҳо, параболаҳо ва гиперболаҳо. Дар ин мақола, мо ба гипербола, як навъи буриши конусӣ, ки дар соҳаҳо ба монанди астрономия, физика ва муҳандисӣ татбиқҳои зиёд дорад, тамаркуз хоҳем кард. Дар ин мақола масъалаҳои намунавӣ ва муҳокимаи онҳо дар бораи ин мавзӯъ бо мақсади кӯмак ба хонандагон дар фаҳмидани мафҳум ва чӣ гуна ҳалли масъалаҳои марбут ба гиперболаҳо пешниҳод карда мешаванд.
Таъриф ва хосиятҳои гипербола
Пеш аз он ки ба саволҳои намунавӣ гузарем, биёед аввал баъзе мафҳумҳои асосиро дар бораи гипербола муҳокима кунем.
Гипербола макони нуқтаҳо дар як сатҳест, ки фарқи масофаи ҳар як нуқта аз ду нуқтаи муқарраршуда (ки фокус номида мешаванд) доимӣ аст.
Муодилаи умумии гипербола дар шакли стандартӣ чунин аст:
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ё
\[ \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
Дар куҷо:
– \(a\) масофа аз маркази гипербола то қуллаи он (қулла) аст.
– \(b\) масофаест, ки ба масофа аз марказ то нуқтаи наздиктарин дар асимптотаи гипербола алоқаманд аст.
Барои гиперболае, ки уфуқӣ мегузарад, шакли умумии истифодашуда чунин аст:
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Дар айни замон, барои гиперболаҳо, ки амудӣ убур мекунанд:
\[ \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1:
Бо назардошти муодилаи гипербола \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \). Муайян кунед:
1. Маркази гипербола.
2. Дарозии меҳвари асосӣ ва меҳвари дуюмдараҷа.
3. Нуқтаи марказӣ.
4. Муодилаи асимптота.
5. Гиперболаро кашед.
Муҳокима:
1. Маркази гипербола:
Азбаски шакли муодилаи дар боло овардашуда стандартӣ аст ва истилоҳҳои \((x – h)\) ё \((y – k)\) вуҷуд надоранд, маркази ин гипербола дар нуқтаи (0,0) ҷойгир аст.
2. Дарозии меҳвари асосӣ ва меҳвари дуюмдараҷа:
Аз муодилаи \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \), маълум аст, ки:
\[
a^2 = 16 \Rightarrow a = 4
\]
\[
b^2 = 9 \Rightarrow b = 3
\]
Дарозии меҳвари асосӣ \(2a = 2 \\ ...
Дарозии меҳвари дуюмдараҷа \(2b = 2 \times 3 = 6\) аст.
3. Нуқтаи марказӣ:
Барои ёфтани нуқтаи марказӣ, мо аз робитаи зерин истифода мебарем:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
\[
c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = \sqrt{25} = 5
\]
Азбаски ин гипербола уфуқӣ аст, фокусҳо дар нуқтаҳои \((\pm c, 0)\), яъне \((5, 0)\) ва \((-5, 0)\) ҷойгиранд.
4. Муодилаи асимптота:
Асимптота хати ростест, ки ба гипербола наздик мешавад. Барои ин муодилаи стандартӣ, асимптотаро бо роҳи зерин муайян кардан мумкин аст:
\[
y = \pm \frac{b}{a}x \Rightarrow y = \pm \frac{3}{4}x
\]
Пас, муодилаҳои асимптота инҳоянд: \(y = \frac{3}{4}x \) ва \(y = -\frac{3}{4}x \).
5. Тасвири гипербола:
Барои тавсифи гиперболаҳо, ба мо лозим аст:
– Марказро дар (0,0) қайд мекунад.
– Қуллаҳоро дар нуқтаҳои (4,0) ва (-4,0) ҷойгир кунед.
– Асимптотаҳоеро кашед, ки хатҳои y = (3/4)x ва y = -(3/4)x аз марказ мегузаранд.
– Нуқтаҳои фокусро дар (5,0) ва (-5,0) қайд кунед.
Саволи 2:
Муодилаи гиперболаро муайян кунед, ки меҳвари асосии он 10 воҳид дарозӣ дорад, меҳвари дуюмдараҷаи он 8 воҳид дарозӣ дорад ва дар ибтидо ҷойгир аст.
Муҳокима:
Аз савол маълум аст, ки дарозии меҳвари асосӣ (2a) 10 воҳид аст, пас:
\[ 2a = 10 \Тарчаи рост a = 5 \]
Дарозии меҳвари дуюмдараҷа (2b) 8 воҳид аст, бинобар ин:
\[ 2b = 8 \Растогард b = 4 \]
Бо марказ дар нуқтаи ибтидоӣ (0,0), мо метавонем муодилаи стандартии гиперболаро чунин нависем:
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Пас аз иваз кардани арзишҳои a ва b:
\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
Пас, муодилаи гипербола чунин аст:
\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
Саволи 3:
Гиперболаи амудӣ бо муодилаи \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1 \) дода шудааст. Масофаи байни ду фокуси онро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои муодилаи гипербола \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1\), мо муайян мекунем, ки:
\[ a^2 = 36 \Растарроу a = 6 \]
\[ b^2 = 16 \Растогард b = 4 \]
Барои ёфтани масофаи байни ду фокус, мо аз робитаи зерин истифода мебарем:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 36 + 16 = 52 \Rightarrow c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Масофаи байни ду маркази гипербола ҳамчун 2 маротиба масофаи марказҳо аз марказ ҳисоб карда мешавад:
\[ 2c = 2 \times 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13} \]
Пас, масофаи байни ду фокус ба воҳиди \(4\sqrt{13}\) баробар аст.
Хулоса
Дар ин мақола, мо якчанд масъалаҳои намунавӣ дар бораи гиперболаҳо, аз ҷумла муайян кардани марказ, дарозии меҳварҳои калон ва хурд, фокусҳо, муодилаҳои асимптотаҳо ва графики гиперболаҳо, баррасӣ кардем. Фаҳмидани тарзи ҳалли ин масъалаҳо, махсусан барои донишҷӯёне, ки геометрияи таҳлилӣ ё математикаи пешрафтаро меомӯзанд, муҳим аст.
Гипербола на танҳо як назария аст, балки дар дигар соҳаҳои илмӣ, аз қабили астрофизика, радар ва GPS низ татбиқи васеъ дорад. Аз ин рӯ, омӯзиши гипербола на танҳо ҳалли масъалаҳои математикӣ, балки фаҳмидани он аст, ки чӣ гуна ин мафҳумҳои математикӣ метавонанд дар ҳаёти воқеӣ татбиқ карда шаванд.
