Намунаҳои саволҳо дар бораи қисматҳои конуси эллиптикӣ
Пендахулуан
Риёзиёт як илми бунёдӣ аст, ки дар ҷанбаҳои гуногуни ҳаёти инсон нақши муҳим мебозад. Яке аз мавзӯъҳои махсусан душвор дар математика геометрия, бахусус буришҳои конусӣ мебошад. Дар ин мақола мо яке аз чунин буришҳои конусӣ - эллипсро баррасӣ хоҳем кард. Дар ин мақола масъалаҳои намунавӣ ва муҳокимаи ҳамаҷонибаи эллипс оварда шудаанд, ки умедворем ба донишҷӯён дар фаҳмидани амиқтари ин мавзӯъ кӯмак хоҳанд кард.
Таъриф ва хосиятҳои эллипсҳо
Пеш аз он ки мо ба саволҳои мисолӣ гузарем, аввал фаҳмидани он ки эллипс чист, муфид аст. Эллипс маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳо дар ҳамворӣ аст, ки ҷамъи масофаҳояш аз ду нуқтаи муқаррар (фокусҳои он) доимӣ аст. Ин ду нуқтаи муқаррарӣ фокусҳои эллипс (F1 ва F2) номида мешаванд.
Дар шакли алгебравӣ, эллипсро бо муодилаи умумии он тавсиф кардан мумкин аст:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ки дар он \(a \) масофа аз маркази эллипс то нуқтаи дуртарин дар меҳвари асосӣ ва \(b \) масофа аз маркази эллипс то нуқтаи дуртарин дар меҳвари ёрирасон мебошад.
Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи эллипсҳо
Саволи 1:
Муодилаи эллипс ин аст: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Дарозии меҳвари асосӣ, дарозии меҳвари ёрирасон ва координатаҳои фокусҳоро муайян кунед.
Муҳокима:
Муодилаи эллипси додашуда ин аст: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
1. Дарозии меҳвари асосӣ ва меҳвари ёрирасонро муайян кунед:
\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]
Пас, дарозии меҳвари асосӣ \(= 2a = 2(5) = 10\).
Дарозии меҳвари ёрирасон \(= 2b = 2(3) = 6\).
2. Координатаҳои фокусро муайян кунед:
Фокуси эллипс дар меҳвари асосӣ дар масофае аз маркази √(a^2 – b^2}) ҷойгир аст.
\[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \]
Азбаски меҳвари асосии ин эллипс меҳвари x аст, координатаҳои фокус чунинанд:
\( (c, 0) \) ва \( (-c, 0) \) ё \( (4, 0) \) ва \( (-4, 0) \).
Саволи 2:
Эллипсе, ки марказаш дар нӯги √(0, 0)√) ва меҳвари асосӣ дар меҳвари x дода шудааст, дарозии меҳвари асосӣ 12 ва дарозии меҳвари ёрирасон 8 аст. Муодилаи эллипсро муайян кунед.
Муҳокима:
1. Бо назардошти дарозии меҳвари асосӣ \( 2a = 12 \ ), пас:
\[ a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. Бо назардошти дарозии меҳвари ёрирасон \( 2b = 8 \ ), пас:
\[ b = \frac{8}{2} = 4 \]
Муодилаи эллипс бо марказ дар √( (0, 0)√) ва меҳвари асосӣ дар меҳвари x чунин аст:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
\( a \) ва \( b \)-ро ба муодила иваз кунед:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
Пас, муодилаи эллипс чунин аст:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
Саволи 3:
Эксцентриситети эллипси \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Эксцентриситети (\( e \))-и эллипс бо муодилаи зерин дода мешавад:
\[e = \frac{c}{a} \]
ки дар он \(c = \sqrt{a^2 – b^2} \).
Аз муодилаи эллипс, мо ба даст меорем:
\[ a^2 = 49 \Растарроу a = 7 \]
\[ b^2 = 36 \Растогард b = 6 \]
Акнун, мо \(c\)-ро меёбем:
\[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 36} = \sqrt{13} \]
Эксентрикӣ (\( e \)):
\[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Пас, эксцентриситети эллипс чунин аст:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Саволи 4:
Агар ду нуқтаи фокусии эллипс дар нуктаҳои \( (-5, 0) \) ва \( (5, 0) \) ҷойгир бошанд ва дарозии меҳвари асосии эллипс 12 бошад, муодилаи эллипсро муайян кунед.
Муҳокима:
1. \( a \)-ро муайян кунед:
Меҳвари асосии Панмассн g ба 12 баробар аст, пас \(2a = 12 \).
Пас, \( a = \frac{12}{2} = 6 \).
2. \(c \)-ро муайян кунед:
Ду нуқтаи фокусӣ \( (-5, 0) \) ва \( (5, 0) \) мебошанд, пас:
\[ c = 5 \]
3. \(b\)-ро муайян кунед:
Аз муносибати \(c = \sqrt{a^2 – b^2} \) истифода баред:
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]
4. Муодилаи эллипсро баргардонед:
Муодилаи эллипс чунин аст:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Иваз кардани \( a \) ва \( b \):
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Пас, муодилаи эллипс чунин аст:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Penutup
Тавассути баррасии масъалаҳои дар боло зикршуда, мо мебинем, ки фаҳмидани эллипсҳо на танҳо омӯзиши муодилаҳо ва графикҳои онҳоро, балки инчунин чӣ гуна хосиятҳо ва унсурҳои эллипсро бо ҳамдигар алоқаманд карданро дар бар мегирад. Азхуд кардани ин мавод бешубҳа дар соҳаҳои гуногуни татбиқ, ба монанди физика, астрономия ва дигар соҳаҳои муҳандисӣ хеле муфид хоҳад буд. Умедворем, ки тавассути ин масъалаҳо ва муҳокимаҳои мисолӣ, шумо метавонед мафҳумҳои асосӣ ва татбиқи буришҳои конуси эллиптикиро беҳтар дарк кунед.
Ин мақола бо умеди фароҳам овардани фаҳмиши амиқтари эллипсҳо навишта шудааст. Машқ карданро давом диҳед ва барои беҳтар кардани малака ва дониши худ аз омӯхтани масъалаҳои марбут ба дигар масъалаҳо шарм надоред!
