Намунаҳои саволҳо дар бораи падидаҳои квантӣ
Падидаҳои квантӣ ё падидаҳое, ки аз ҷониби механикаи квантӣ идора мешаванд, доираи васеи мафҳумҳо ва принсипҳоро дар бар мегиранд, ки фаҳмиши амиқ ва мураккабии математикиро талаб мекунанд. Механикаи квантӣ як соҳаи физика аст, ки рафтори зарраҳои субатомӣ, ба монанди электронҳо ва фотонҳоро тавсиф мекунад, ки онҳоро бо физикаи классикӣ шарҳ додан мумкин нест. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъалаҳо ва роҳҳои ҳалли онҳоро, ки ба падидаҳои квантӣ алоқаманданд, барои фаҳмидани принсипҳои асосии механикаи квантӣ баррасӣ хоҳем кард.
Намунаи саволи 1: Принсипи номуайянии Гейзенберг
Савол:
Маълум аст, ки мавқеи электрон дар атом бо дақиқии \(\Delta x = 0.1 \text{ nm} \) чен карда мешавад. Номуайянии ҳадди ақалро ҳангоми чен кардани импулси электрон (\(\Delta p \)) бо истифода аз принсипи номуайянии Гейзенберг муайян кунед.
Ҷавоб:
Принсипи номуайянии Гейзенберг чунин мегӯяд:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
ки дар он \( \hbar \) доимии коҳишёфтаи Планк бо арзиши \( \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \) аст.
Иваз кардани \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} = 5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \]
Пас, номуайянии ҳадди ақал ҳангоми чен кардани импулси электрон \(5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \) аст.
Намунаи саволи 2: Энергияи потенсиалӣ дар қуттӣ (зарра дар қуттӣ)
Савол:
Заррае бо массаи m дар қуттии якченака бо дарозии L банд мондааст. Энергияи асосии (энергияи ҳолати асосӣ) зарра чанд аст?
Ҷавоб:
Энергияи асосии (энергияи ҳолати заминӣ)-и зарра дар қуттии якченака бо муодилаи зерин дода мешавад:
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Барои ҳолати асосӣ (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
ки дар он \(h \) доимии Планк \( (h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{Js}) \).
Фарз мекунем, ки \( m = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \) (массаи электрон) ва \( L = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.287 \times 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \times 10^{-18} \text{ J} \]
Пас, энергияи асосии зарра \(6.02 \times 10^{-18} \text{J} \) аст.
Мисоли 3: Амалиёти оператори Гамильтонианӣ дар функсияҳои мавҷӣ
Савол:
Функсияи мавҷи зарра дар қуттии якченака ин аст: \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) барои \( n=1,2,3,\ldots \). Энергияи зарраро бо истифода аз оператори Гамильтони \( \hat{H} \) муайян кунед.
Ҷавоб:
Оператори Гамилтонӣ дар як андоза чунин аст:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
Мо бояд оператори Гамилтониро ба функсияи мавҷӣ \( \psi(x) \) татбиқ кунем:
$$ \mathrm {H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \] $$ ...
Ҳосилаи аввали \( \psi(x) \):
$$ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \] $$ ...
Ҳосилаи дуюм:
$\frac{d^2}{dx^2} $\left( \sqrt{\frac{2}{L}} $\sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) $\right) = $\sqrt{\frac{2}{L}} $\left( -\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 $\sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) $\right) $\] $$
$\frac{d^2}{dx^2} $\left(\frac{n\pi x}{L} \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} $\sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) $$
Акнун, натиҷаро ба оператори Гамилтонӣ баргардонед:
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Аз ин ҷо, мо мебинем, ки:
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]
Пас, энергияи зарраҳо чунин аст:
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Фарз мекунем, ки мо мехоҳем энергияи \(n=1 \)-ро пайдо кунем:
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Хулоса
Ҳалли масъалаҳои марбут ба падидаҳои квантӣ фаҳмиши амиқи принсипҳои асосии механикаи квантиро, ба монанди принсипи номуайянии Гейзенберг ва энергияи зарраҳо дар қуттии потенсиал, талаб мекунад. Тавассути якчанд мисолҳои масъала ва муҳокимаҳои онҳо, мо умедворем, ки ба тақвияти мафҳумҳои асосии механикаи квантӣ ва татбиқи он дар вазъиятҳои гуногуни физикӣ мусоидат хоҳем кард. Гарчанде ки механикаи квантӣ метавонад мураккаб ба назар расад, масъалаҳои амалӣ ва фаҳмиши мафҳумӣ барои азхуд кардани ин маводи асосӣ хеле кӯмак хоҳанд кард.
