Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи тангенсҳо ба қисматҳои конусӣ
Пендахулуан
Буриши конусӣ каҷест, ки дар натиҷаи буриши ҳамвор бо конуси диполӣ ба вуҷуд меояд. Ин каҷҳо доираҳо, эллипсҳо, параболаҳо ва гиперболаҳо мебошанд. Яке аз мавзӯъҳои муҳим дар фаҳмидани буришҳои конусӣ хати тангенс аст. Тангенс ба буриши конусӣ хатест, ки танҳо дар як нуқта ба каҷи конусӣ мерасад. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ ва муҳокимаи тангенсҳо ба буришҳои конусӣ баррасӣ карда мешаванд.
Тангенс ба доира
Доира буриши конусӣ аст, ки шакли соддатарин ва симметрияи комил дорад. Биёед бо масъалаи намунавӣ дар бораи тангенсҳо ба доира оғоз кунем.
Намунаи саволи 1
Доирае дода шудааст, ки муодилаи он \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) аст. Муодилаи хати тангенсро дар нуқтаи \((5, -3)\)-и доира муайян кунед.
Пембахасан
Муодилаи умумии доира ин аст: \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), ки \( (h, k) \) маркази доира ва \( r \) радиус мебошад. Дар ин масъала, маркази доира \((h, k) \) \((2, -3) \) ва радиус \( r = \sqrt{25} = 5 \) аст.
Хатти тангенс дар нуқтаи \((x_1, y_1)\) дар доира бо истифода аз формулаи зерин ёфта мешавад:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[x = \frac{31}{3} \]
Муодилаи хати тангенс \(x = \frac{31}{3}\) аст, аммо дар ин усул хатогӣ вуҷуд дорад, зеро нуқтаи \((5, -3)\) ба таври возеҳ нуқтае дар доира аст. Аз ин рӯ, мо усули анъанавиро бо иваз кардани нишебии хати тангенс дар ин нуқтаи мушаххас истифода мебарем:
Нуқтаи тангенс, \((5, -3)\) аст, пас, градиенти (m)-и хати радиус \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) аст, ки дар он градиенти хати тангенс барои тангенси амудии қаблӣ номуайян мешавад.
Хатти тангенс ба эллипс
Эллипс буриши конусӣ аст, ки ду меҳвари симметрӣ дорад: меҳвари калон (дароз) ва меҳвари хурд (кӯтоҳ). Инҳоянд чанд мисоли масъалаҳо бо эллипсҳо.
Намунаи саволи 2
Эллипс бо муодилаи \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) дода шудааст. Муодилаи хати тангенсро дар нуқтаи \((2, \frac{3}{2})\) дар эллипс муайян кунед.
Пембахасан
Муодилаи хати тангенс ба эллипси \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) дар нуқтаи \((x_1, y_1)\) чунин аст:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Бо истифода аз \(a = 4\) ва \(b = 3\), арзишҳои \(a\), \(b\) ва нуқтаи \((2, \frac{3}{2})\)-ро иваз кунед:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Барои нест кардани касрҳо, тамоми муодиларо ба 8 зарб кунед:
\[x + 4y = 8 \]
Пас, муодилаи хати тангенс ба эллипс \(x + 4y = 8 \) аст.
Хатти тангенс ба Парабола
Парабола буриши конусӣ бо як меҳвари симметрия ва як қулла аст. Инҳоянд чанд мисоли масъалаҳо бо парабола.
Намунаи саволи 3
Парабола бо муодилаи \(y^2 = 4x \) дода шудааст. Муодилаи хати тангенсро дар нуқтаи \((1, 2) \) дар парабола муайян кунед.
Пембахасан
Муодилаи хати тангенс ба параболаи \(y^2 = 4ax \) дар нуқтаи \((x_1, y_1) \) чунин аст:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Аз муодилаи парабола \(y^2 = 4x \), мо \(4a = 4 \)-ро ба даст меорем, ки \(a = 1 \). Қимати \(a \) ва нуқтаи \((1, 2) \)-ро иваз кунед:
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Пас, муодилаи хати тангенс ба парабола \(y = x + 1 \) аст.
Хатти тангенсӣ ба гипербола
Гипербола буриши конусӣ бо ду шоха ва ду асимптота аст. Инҳоянд чанд мисоли масъалаҳо бо гипербола.
Намунаи саволи 4
Гипербола бо муодилаи \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) дода шудааст. Муодилаи хати тангенсро дар нуқтаи \((5, 0)\) дар гипербола муайян кунед.
Пембахасан
Муодилаи хати тангенс ба гиперболаи \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) дар нуқтаи \((x_1, y_1)\) чунин аст:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Бо истифода аз \( a = 5 \) ва \( b = 4 \), арзишҳои \( a \), \( b \) ва нуқтаи \((5, 0) \)-ро иваз кунед:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Пас, муодилаи хати тангенс ба гипербола \(x = 5 \) аст.
Хулоса
Тангенсҳо ба буришҳои конусӣ дар математика ва татбиқҳои гуногуни амалӣ нақши муҳим мебозанд. Фаҳмидани тарзи ёфтани муодилаҳои тангенсҳо ба намудҳои гуногуни буришҳои конусӣ, ба монанди доираҳо, эллипсҳо, параболаҳо ва гиперболаҳо, як маҳорати муҳим дар ҳисоб ва геометрияи таҳлилӣ мебошад. Бо истифода аз мисолҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, умедворем, ки хонандагон мафҳумҳо ва усулҳои муайян кардани тангенсҳо ба буришҳои конусиро беҳтар дарк хоҳанд кард.
