Намунаҳои саволҳо дар бораи функсияи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ як тақсимоти эҳтимолияти дискретӣ аст, ки шумораи муваффақиятҳоро дар таҷрибае тавсиф мекунад, ки аз як қатор озмоишҳои мустақил бо ду натиҷаи имконпазир иборат аст: муваффақият ва нокомӣ. Ҳар як озмоиш озмоиш номида мешавад ва тақсимоти биномӣ аксар вақт дар ҳолатҳое истифода мешавад, ки шумораи муваффақиятҳо дар як қатор озмоишҳои мустақил ҷолиб аст. Дар ин мақола, мо мафҳумҳои асосии тақсимоти биномиро баррасӣ хоҳем кард ва мисолҳо ва роҳҳои ҳалро пешниҳод хоҳем кард.
Мафҳумҳои асосии функсияи тақсимоти биномӣ
Пеш аз он ки мо ба саволҳои намунавӣ ва муҳокима гузарем, биёед баъзе мафҳумҳои асосии марбут ба тақсимоти биномро баррасӣ кунем.
1. Таъриф: Тақсимоти биномӣ ҳамчун ҷамъи муваффақиятҳо дар озмоишҳои мустақили 'n' муайян карда мешавад, ки дар он ҳар як озмоиш ду натиҷаи имконпазир дорад: муваффақият (бо эҳтимолияти p) ё нокомӣ (бо эҳтимолияти q = 1 – p).
2. Функсияи эҳтимолият: Функсияи эҳтимолияти тақсимоти биномӣ чунин аст:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ди мана:
– \( P(X = k) \) эҳтимолияти муваффақияти k дар n озмоиш аст.
– \( \binom{n}{k} \) комбинатсияи n аст, ки k-ро мегирад, ки ҳамчун \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) муайян карда мешавад.
– \(p \) эҳтимолияти муваффақият дар ҳар як озмоиш аст.
– \( (1-p) \) эҳтимолияти нокомӣ дар ҳар як озмоиш аст.
3. Арзиши интизоршаванда ва тафовут:
– Қимати интизоршаванда (миёна)-и тақсимоти биномӣ \( \mu = np \) аст.
– Дисперсияи тақсимоти биномӣ \( \sigma^2 = np(1-p) \) аст.
Акнун, биёед ин мафҳумҳоро дар мисоли масъала татбиқ кунем, то фаҳмиши амиқтар фароҳам оварем.
Намунаи саволи 1: Ҳисобҳои асосии тақсимоти биномӣ
Савол:
Ширкат қисмҳои электрониро бо эҳтимолияти 0.95 истеҳсол мекунад, ки ҳар як ҷузъ аз санҷиши сифат мегузарад. Агар 10 ҷузъ истеҳсол карда шавад, эҳтимолияти он, ки маҳз 8 ҷузъ аз санҷиши сифат мегузарад, ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Мо метавонем барои ҳалли ин масъала аз формулаи тақсимоти биномӣ истифода барем. Аввалан, мо параметрҳои зеринро муайян мекунем:
– \( n \) (шумораи умумии озмоишҳо) = 10
– \( k \) (шумораи муваффақиятҳо) = 8
– \( p \) (эҳтимолияти муваффақият) = 0.95
– \( q \) (эҳтимолияти нокомӣ) = 1 – 0.95 = 0.05
Сипас ин арзишҳоро ба формулаи тақсимоти биномӣ иваз кунед:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Аввалан, комбинатсияи \( \binom{10}{8} \)-ро ҳисоб кунед:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Сипас, эҳтимолиятҳои \( (0.95)^8 \) ва \( (0.05)^2 \)-ро ҳисоб кунед:
\[
(0.95)^8 \тақрибан 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Дар ниҳоят, ҳамаи ин арзишҳоро зарб кунед, то ба даст оред:
\[
P(X = 8) = 45 маротиба 0.6634 маротиба 0.0025 тақрибан 0.0744
\]
Пас, эҳтимолияти он ки аз 10 ҷузъ маҳз 8-тоаш аз санҷиши сифат мегузаранд, тақрибан 0.0744 ё 7.44% -ро ташкил медиҳад.
Намунаи саволи 2: Эҳтимолияти ҷамъшаванда
Савол:
Бо вуҷуди ин, бо ҳамон як ширкат, эҳтимолияти онро ҳисоб кунед, ки ҳадди аққал 9 аз 10 ҷузъ аз санҷиши сифат мегузаранд.
Муҳокима:
Барои ҳалли ин масъала, мо бояд эҳтимолияти ҷамъшавандаро ҳисоб кунем. Эҳтимолияти он, ки ҳадди аққал 9 аз 10 ҷузъ аз санҷиш мегузаранд, маънои онро дорад, ки мо \(P(X \geq 9) \)-ро ҳисоб мекунем, ки онро чунин навиштан мумкин аст:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Истифодаи формулаи тақсимоти биномӣ:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Аввалан, барои ҳар як ҳолат комбинатсияро ҳисоб кунед:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Сипас, эҳтимолиятҳоро барои \(P(X = 9) \) ва \(P(X = 10) \) ҳисоб кунед:
\[
P(X = 9) = 10 маротиба (0.95)^9 маротиба 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \тақрибан 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 маротиба 0.6302 маротиба 0.05 тақрибан 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 маротиба (0.95)^{10} маротиба 1
\]
\[
(0.95)^{10} \тақрибан 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Эҳтимолияти умумӣ барои \(P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \тақрибан 0.9138
\]
Пас, эҳтимолияти он, ки ҳадди аққал 9 аз 10 ҷузъ аз санҷиши сифат мегузаранд, тақрибан 0.9138 ё 91.38% -ро ташкил медиҳад.
Намунаи саволи 3: Арзиши интизоршаванда ва тафовут
Савол:
Арзиши интизоршаванда ва дисперсияи шумораи ҷузъҳоеро, ки аз санҷиши сифат гузаштаанд, аз 10 ҷузъи истеҳсолшуда бо эҳтимолияти 0.95 ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Формулаи зеринро истифода баред:
– Арзиши интизоршаванда (миёна) \( \mu = np \)
– Дисперсия \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Бо \(n = 10 \) ва \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \ маротиба 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \ маротиба 0.95 \ маротиба 0.05 = 0.475
\]
Пас, арзиши интизории шумораи ҷузъҳое, ки аз санҷиши сифат гузаштаанд, 9.5 ва дисперсия 0.475 аст.
Хулоса
Тавассути се масъалаи мисолӣ дар боло, мо муҳокима кардем, ки чӣ гуна эҳтимолиятро бо истифода аз тақсимоти биномӣ барои вазъиятҳои гуногун ҳисоб кардан мумкин аст: ҳисоб кардани эҳтимолияти дақиқ, эҳтимолияти ҷамъшаванда ва ҳисоб кардани арзиши интизорӣ ва дисперсия. Дониши тақсимоти биномӣ дар соҳаҳои гуногун, ба монанди истеҳсолот, тадқиқоти тиббӣ ва омори иҷтимоӣ, ки дар он натиҷаҳои таҷрибаҳои такрорӣ бо ду натиҷаи имконпазир метавонанд барои кӯмак дар қабули қарор таҳлил карда шаванд, муфид аст. Умедворем, ки масъалаҳо ва муҳокимаҳои намунавии пешниҳодшуда ба шумо дарки бештари тақсимоти биномӣ медиҳанд.
