Намунаҳои саволҳо дар бораи домен, кодомеин ва диапазон
Фаҳмидани мафҳумҳои домен, кодомеан ва диапазон дар математика, бахусус функсияҳо, барои ҳар як донишҷӯе, ки ин соҳаро меомӯзад, муҳим аст. Ин мафҳумҳо барои соҳаҳои гуногуни математика, аз ҷумла математикаи холис, омор ва илми компютерӣ, асосианд. Дар ин мақола масъалаҳои намунавӣ марбут ба домен, кодомеан ва диапазон бо шарҳҳои ҳамаҷониба баррасӣ карда мешаванд.
Мафҳумҳои асосӣ
Domain
Домен маҷмӯи ҳамаи арзишҳои вурудӣ (x) аст, ки метавонанд аз ҷониби функсия қабул карда шаванд. Ба ибораи содда, домен ҳамаи арзишҳои имконпазирест, ки мо метавонем ба функсия ворид кунем.
Кодомен
Кодомен маҷмӯи ҳамаи арзишҳои имконпазири баромад аст, вале на ҳатман, ки аз ҷониби функсия ба вуҷуд оварда мешаванд. Кодомен метавонад аз диапазон фарқ кунад, аммо ҳадди аққал бояд диапазонро фаро гирад.
диапазон
Диапазон маҷмӯи ҳамаи арзишҳои воқеии баромад (y) мебошад, ки аз ҷониби функсияи ҳамаи арзишҳои домени воридшуда ба вуҷуд омадааст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1
Функсияи f(x) = 2x + 3 дода шудааст. Агар домени муайянкунӣ пурра аз ададҳои воқеӣ иборат бошад, домени муайянкунӣ, кодомеан ва диапазони муайянкунии функсияро муайян кунед.
Муҳокима:
– Домен: Бо назардошти он, ки домен ҳама аз ададҳои воқеӣ иборат аст, пас \( \text{Domain} = \mathbb{R} \).
– Кодомен: Кодомени функсияро умуман метавон ҳамчун адади воқеӣ низ фарз кард, яъне \( \text{Codomain} = \mathbb{R} \).
– Диапазон: Барои ёфтани диапазон, мо бояд фаҳмем, ки функсия чӣ гуна кор мекунад. Функсияи \(f(x) = 2x + 3 \) як функсияи хаттӣ аст, ки тамоми диапазони ададҳои воқеиро фаро мегирад, зеро барои ҳар як арзиши \(x \in \mathbb{R} \), \(f(x) \) низ адади воқеӣ аст ва ҳамаи арзишҳоро дар \(\mathbb{R}\) фаро мегирад. Аз ин рӯ, \( \text{Range} = \mathbb{R} \).
Саволи 2
Функсияи g(x) = sqrt(x – 1) дода шудааст. Домен, кодомеан ва диапазони функсияро муайян кунед.
Муҳокима:
– Домен: Функсияи g(x) решаҳои квадратиро дар бар мегирад, ки танҳо барои арзишҳои ғайриманфӣ дар зери радикал эътибор доранд. Пас, барои \(x – 1 \geq 0 \), пас \(x \geq 1 \). Аз ин рӯ, \( \text{Domain} = [1, \infty) \).
– Кодомен: Кодомени ин функсия одатан адади воқеии ғайриманфӣ ҳисобида мешавад, зеро решаи квадратӣ ҳамеша ғайриманфӣ аст. Пас, \(\text{Codomain} = [0, \infty)\).
– Диапазон: Барои диапазон, мо ба арзишҳои воқеии баргардонидашуда аз ҷониби функсия нигоҳ мекунем. Агар \( x \geq 1 \), пас \( g(x) = \sqrt{x – 1} \geq 0 \). Новобаста аз он ки \( x \ чӣ қадар калон аст, натиҷаи \( \sqrt{x – 1} \) ҳамеша дар диапазони \([0, \infty)\) хоҳад буд. Пас, \(\text{Range} = [0, \infty)\).
Саволи 3
Функсияи h(x) = 1/x дода шудааст. Домен, кодомеан ва диапазони ин функсияро муайян кунед.
Муҳокима:
– Домен: Функсияи \(h(x) = \frac{1}{x} \) вақте ки \(x = 0 \) номуайян аст, зеро он боиси тақсимшавӣ ба сифр мегардад. Пас, \( \text{Domain} = \mathbb{R} – \{0\} \) ё \( \text{Domain} = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).
– Кодомен: Мо метавонем умуман тахмин кунем, ки коддомен ҳама ададҳои воқеӣ мебошанд, ҳатто агар қимати \(x = 0 \) аз домен хориҷ карда шавад, коддомен ҳоло ҳам метавонад \( \mathbb{R} \) бошад.
– Диапазон: Барои диапазон, мо натиҷаи \(h(x) \)-ро аз рӯи ҳамаи арзишҳои \(x \) дар домен мебинем. Қимати \(1/x \) ҳеҷ гоҳ 0 нест, балки метавонад ҳамаи ададҳои воқеии манфӣ ва мусбатро ба истиснои худи сифр дар бар гирад. Пас, \(\text{Range} = \mathbb{R} – \{0\}\).
Саволи 4
Бо функсияи k(x) = x^2 – 4 дода шудааст. Домен, кодомеан ва диапазони функсияро муайян кунед.
Муҳокима:
– Домен: Азбаски функсияи \(k(x) \) полиномии дараҷаи дуюм аст, домени он ҳама ададҳои воқеӣ аст, \( \text{Domain} = \mathbb{R} \).
– Кодомен: Барои функсияҳои полиномӣ, мо метавонем кодомеро ададҳои воқеӣ ҳисоб кунем, \( \text{Codomain} = \mathbb{R} \).
– Диапазон: Функсияи квадратиро аз параболаи \(y = x^2 – 4 \) таҳлил кардан мумкин аст. Ин парабола бо нуқтаи ҳадди ақал дар \(y = -4 \) ба боло кушода мешавад. Аз ин рӯ, арзиши ҳадди ақали ин функсия -4 аст ва пас аз он он метавонад ба ҳар гуна қимате, ки аз -4 калонтар аст, бирасад. Пас, \(\text{Range} = [-4, \infty) \).
Инҳо баъзе мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳои марбут ба домен, кодомеан ва диапазон мебошанд. Фаҳмидани ин се мафҳум на танҳо ба ҳалли масъалаҳо мусоидат мекунад, балки инчунин фаҳмиши амиқтарро дар бораи тарзи рафтори функсия дар заминаи васеътари математикӣ фароҳам меорад. Бо машқҳои мунтазам, фаҳмиши шумо дар бораи домен, кодомеан ва диапазон қавитар ва мустаҳкамтар мешавад.
