Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ яке аз тақсимоти эҳтимолияти дискретӣ мебошад, ки маъмултарин истифода мешавад. Он барои моделсозии шумораи муваффақиятҳо дар як қатор озмоишҳои якхела ва мустақил, ки ҳар яки онҳо ё муваффақият ё нокомӣ ба бор меоранд, муфид аст. Дар ин мақола, мо бо пешниҳоди якчанд мисол ва муҳокимаи муфассал тақсимоти биномиро амиқтар меомӯзем.
Муқаддима ба тақсимоти биномӣ
Хусусиятҳои асосии тақсимоти биномӣ:
1. n: Шумораи озмоишҳо ё такрорҳо.
2. p: Эҳтимолияти муваффақият дар ҳар як озмоиш.
3. q = 1-p: Эҳтимолияти нокомӣ дар ҳар як озмоиш.
Функсияи эҳтимолияти массаи тақсимоти биномӣ чунин аст:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Тағйирёбандаи тасодуфӣ, ки шумораи муваффақиятҳоро ифода мекунад.
– \( k \): Шумораи муваффақиятҳои ҷустуҷӯшуда.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Биёед бо баъзе масъалаҳои намунавӣ оғоз кунем, то мафҳуми тақсимоти биномро муфассалтар фаҳмем.
Мисоли 1: Интихоб аз гурӯҳи донишҷӯён
Масалан, фарз мекунем, ки мо гурӯҳи 10 донишҷӯ дорем ва эҳтимолияти интихоб шудани ҳар як донишҷӯ барои иштирок дар озмун 0,3 аст. Мо мехоҳем эҳтимолияти интихоб шудани маҳз 4 донишҷӯро бидонем.
Қадами 1: Параметрҳои тақсимоти биномиалиро муайян кунед.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Қадами 2: Барои ҳисоб кардани эҳтимолияти \(X = 4 \), аз тақсимоти биномӣ истифода баред.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Ҳисоб кардани \( {10 \choose 4} \ ):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Акнун \( (0.3)^4 \) ва \( (0.7)^6 \)-ро ҳисоб кунед:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Пас,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \тақрибан 0.20012 \]
Пас, эҳтимолияти интихоб шудани маҳз 4 донишҷӯ тақрибан 0.20012 ё 20.012% -ро ташкил медиҳад.
Мисоли 2: Эҳтимолияти камтар аз 2 ё баробар
Акнун, масалан, аз мо дар бораи эҳтимолияти интихоб шудани камтар аз 2 донишҷӯ пурсида мешавад.
Қадами 1: Мо бояд √(P(X = 0)), √(P(X = 1)) ва √(P(X = 2))-ро ҳисоб кунем.
– Барои \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \интихоб 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Барои \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \интихоб 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Барои \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \интихоб 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Қадами 2: Эҳтимолиятҳоро ҷамъ кунед.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Пас, эҳтимолияти интихоб шудани камтар аз 2 донишҷӯ тақрибан 0.7740671 ё 77.41% -ро ташкил медиҳад.
Мисоли 3: Эҳтимолияти ҳадди ақал 8
Агар таҷриба 12 маротиба гузаронида шавад ва эҳтимолияти муваффақият дар ҳар як озмоиш 0.5 бошад, эҳтимолияти ба даст овардани ҳадди аққал 8 муваффақият чанд аст?
Қадами 1: Параметрҳои биномиалиро муқаррар кунед: \( n = 12, p = 0.5 \).
Қадами 2: Эҳтимолияти \(X \geq 8 \)-ро ёбед.
Ин ҳисоб кардани якчанд эҳтимолияти инфиродӣ ва ҷамъ кардани онҳоро талаб мекунад:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Як ба як ҳисоб кунед:
– Барои \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \интихоб 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Барои \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \интихоб 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Барои \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \интихоб 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Барои \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \интихоб 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Барои \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \интихоб 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Қадами 3: Ҳамаи эҳтимолиятҳоро илова кунед.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \тақрибан 0.1938477 \]
Пас, эҳтимолияти ба даст овардани ҳадди ақал 8 муваффақият дар 12 озмоиш тақрибан 0.1938477 ё 19.38% -ро ташкил медиҳад.
Хулоса
Тақсимоти биномӣ як мафҳуми асосӣ дар омор аст, ки дар бисёр замимаҳои амалӣ муҳим аст. Бо фаҳмидани он, ки чӣ гуна эҳтимолиятҳоро барои ҳолатҳои гуногуни тақсимоти биномӣ ҳисоб кардан мумкин аст, тавре ки дар мисолҳои дар боло овардашуда нишон дода шудааст, мо метавонем ин мафҳумро дар вазъиятҳои воқеӣ татбиқ кунем. Ин машқ инчунин фаҳмиши моро дар бораи он ки чӣ гуна сохторҳои эҳтимолӣ дар заминаи равшан ва муташаккил кор мекунанд, тақвият медиҳад.
