Намунаи саволҳои баҳсӣ оид ба васеъкунии математикӣ
Дилятсия ё табдилдиҳӣ, ки васеъкунӣ ва камкуниро дар бар мегирад, як мафҳуми муҳим дар геометрияи табдилдиҳӣ мебошад. Ин мафҳум аксар вақт дар контекстҳои гуногун, ба монанди омӯзиши нақшҳо, симметрия ва бисёр дигар татбиқҳои воқеӣ пайдо мешавад. Дар ин мақола мафҳуми дилятсия дар математика баррасӣ шуда, якчанд мисолҳои масъалаҳо ва роҳҳои ҳалли онҳо пешниҳод карда мешаванд.
Дилататсия чист?
Васеъкунӣ як табдили геометрӣ аст, ки калон кардан ё кам кардани фигураро ба андозаи як омили миқёси муайян дар бар мегирад. Дар васеъкунӣ, нуқтаи фигураи геометрӣ бо ҳамон омил аз нуқтаи маркази васеъкунӣ дур ё наздик мешавад. Васеъкунӣ метавонад калон шавад (омили миқёс > 1), кам шавад (0 < омили миқёс < 1) ё ҳатто агар омили миқёс манфӣ бошад, фигураро инъикос кунад. Қайдҳо дар васеъкунӣ Ҳангоми иҷрои васеъкунӣ, баъзе қайдҳое, ки аксар вақт истифода мешаванд, инҳоянд: - Маркази васеъкунӣ (P): Нуқтаи собит, ки ҳамчун истинод дар раванди васеъкунӣ истифода мешавад. - Омили миқёс (k): Таносуби дарозӣ, ки муайян мекунад, ки чӣ қадар васеъшавӣ ё камшавӣ ба амал меояд. Агар \( k > 1 \) бошад, объект калон карда мешавад. Агар \( 0 < k < 1 \) бошад, объект хурд карда мешавад.
Фарз мекунем, ки нуқтаи A бо координатаҳои (x, y) ба нуқтаи A' бо омили миқёси k ва маркази васеъшавӣ дар O (0,0) васеъ карда шудааст, пас координатаҳои A' (kx, ky) мебошанд. Формулаи васеъкунӣ Барои ёфтани координатаҳои нави натиҷаи васеъшудаи нуқта, формулаи истифодашуда чунин аст: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] ки дар он (x, y) координатаҳои ибтидоии нуқта ва k омили миқёс аст. Саволҳои намунавӣ ва муҳокима Саволи мисоли 1 Нуқтаи A (2, 3) бо омили миқёси 2 васеъ карда шудааст ва маркази васеъшавӣ дар O (0, 0) аст. Координатаҳои нуқтаи A-ро пас аз васеъшавӣ муайян кунед. Муҳокима: Координатаҳои нуқтаи A (2, 3), омили миқёс k = 2 ва маркази васеъшавӣ нуқтаи O (0, 0) аст. Мувофиқи формулаи васеъкунӣ: \[A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Пас, координатаҳои нуқтаи A пас аз васеъкунӣ (4, 6) мебошанд. Мисоли саволи 2 Нуқтаи B (-1, 4) бо омили миқёси 0,5 васеъ карда шудааст ва маркази васеъкунӣ дар O (0, 0) ҷойгир аст. Координатаҳои нуқтаи B-ро пас аз васеъкунӣ муайян кунед. Ҳал: Координатаҳои нуқтаи B (-1, 4), омили миқёси k = 0,5 ва маркази васеъкунӣ нуқтаи O (0, 0) мебошад. Мувофиқи формулаи васеъкунӣ: \[B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Пас, координатаҳои нуқтаи B пас аз васеъшавӣ (-0,5, 2) мебошанд. Мисоли саволи 3 Нуқтаи C (3, -2) бо омили миқёси -1 васеъ карда шудааст ва маркази васеъшавӣ дар O (0, 0) ҷойгир аст. Координатаҳои нуқтаи C-ро пас аз васеъшавӣ муайян кунед. Ҳал: Координатаҳои нуқтаи C (3, -2) мебошанд, омили миқёс k = -1 ва маркази васеъшавӣ дар нуқтаи O (0, 0) ҷойгир аст. Мувофиқи формулаи васеъшавӣ: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Пас, координатаҳои нуқтаи C пас аз васеъшавӣ (-3, 2) мебошанд. Мисоли саволи 4 Нуқтаи D (2, 5) бо омили миқёси 3 васеъ карда шудааст ва маркази васеъшавӣ дар P (1, 1) ҷойгир аст. Координатаҳои нуқтаи D-ро пас аз васеъшавӣ муайян кунед. Баҳс: Координатаҳои нуқтаи D инҳоянд: (2, 5), омили миқёс k = 3 ва маркази васеъшавӣ нуқтаи P (1, 1) мебошад. Аввалан, мо нуқтаи D-ро ба системаи координатаҳои маркази васеъшавӣ P (1, 1) интиқол медиҳем: Координатаҳои нисбии D ба P инҳоянд: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] Дар нуқтаи D_r бо омили миқёс k васеъшавӣ анҷом диҳед: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Дар ниҳоят, мо нуқтаи D_r'-ро ба системаи ибтидоии координатаҳо бармегардонем: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Пас, координатаҳои нуқтаи D пас аз васеъшавӣ (4, 13) мебошанд. Мисоли саволи 5 Нуқтаи E (-2, -3) бо омили миқёси 0,25 васеъ карда шудааст ва маркази васеъшавӣ дар P (-1, -1) ҷойгир аст. Координатаҳои нуқтаи E-ро пас аз васеъшавӣ муайян кунед. Ҳал: Координатаҳои нуқтаи E (-2, -3), омили миқёс k = 0,25 ва маркази васеъшавӣ нуқтаи P (-1, -1) мебошад. Аввалан, мо нуқтаи E-ро ба системаи координатаҳои маркази васеъшавӣ P (-1, -1) интиқол медиҳем: Координатаҳои нисбии E ба P инҳоянд: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Дар нуқтаи E_r васеъкуниро бо омили миқёс k анҷом диҳед: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Дар ниҳоят, мо нуқтаи E_r'-ро ба системаи координатаҳои аслӣ бармегардонем: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Пас, координатаҳои нуқтаи E пас аз васеъшавӣ (-1,25, -1,5) мебошанд. Хулоса: Васеъкунӣ табдили геометрӣ аст, ки шакли геометриро бо омили миқёси муайян калон ё кам мекунад. Фаҳмидани мафҳум ва татбиқи васеъкунӣ дар соҳаҳои гуногуни таҳсил, бахусус дар геометрия, хеле муфид аст. Бо мисолҳо ва муҳокимаҳо, умедворем, ки ин ба донишҷӯён ва хонандагон дар фаҳмидани беҳтари мафҳуми васеъкунӣ дар вазъиятҳои гуногуни математикӣ ва татбиқи он кӯмак мекунад.