Намунаҳои саволҳо дар бораи силсилаи арифметикӣ
Пайдарпайии арифметикӣ як мафҳуми бунёдӣ дар математика аст, ки аксар вақт дар масъалаҳои гуногун, ҳам дар мактаби миёна ва ҳам дар таҳсилоти олӣ, пайдо мешавад. Ин мафҳум як пайдарпайии ададҳоро дар бар мегирад, ки дар он ҳар як ҷузъ натиҷаи ҷамъ ё тарҳ кардани як адади доимӣ аз ҷузъи қаблӣ мебошад. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъала ва роҳҳои ҳалли онҳоро барои фаҳмидани бештари мафҳуми пайдарпайии арифметикӣ баррасӣ хоҳем кард.
Фаҳмидани силсилаи арифметикӣ
Силсилаи арифметикӣ силсилаест, ки байни ду ҷузъи пайдарпай фарқи доимӣ (фарқ) дорад. Масалан, агар силсилаи арифметикӣ ҷузъи аввал \(a\) ва фарқи \(d\) дошта бошад, пас ҷузъҳоро чунин навиштан мумкин аст:
\[ а, а + д, а + 2d, а + 3d, \ldots \]
Агар мо хоҳем, ки узви n-уми ин силсиларо пайдо кунем, формулаи узви n-ум (\(U_n\)) чунин аст:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Дар ҳамин ҳол, ҷамъи n узви аввали силсилаи арифметикӣ (\(S_n\))-ро бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб кардан мумкин аст:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1
Савол: Силсилаи арифметикӣ бо ҷузъи аввали \(a = 5\) ва фарқи умумӣ \(d = 3\) дода шудааст. Ҷузъи 10-уми силсиларо ёбед.
Муҳокима:
Барои ёфтани ҷузъи даҳум (\(U_{10}\)), мо метавонем формулаи ҷузъи n-умро истифода барем:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Пас, узви даҳуми силсила адади 32 аст.
Намунаи саволи 2
Савол: Ҷамъи 15 узви аввали силсилаи арифметикиро ёбед, ки узви аввали онҳо \(a = 4\) ва фарқи умумӣ \(d = 7\) аст.
Муҳокима:
Барои ёфтани ҷамъи 15 ҷузъи аввал (\(S_{15}\)), мо метавонем формулаи ҷамъи n ҷузъи аввалро истифода барем:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Пас, ҷамъи 15 узви аввали силсила ба 795 баробар аст.
Намунаи саволи 3
Савол: Маълум аст, ки узви 5-уми силсилаи арифметикӣ 20 ва узви 12-ум 48 аст. Аввалин узви силсила (\(a\)) ва фарқи умумии силсила (\(d\))-ро ёбед.
Муҳокима:
Аз шартҳои додашуда:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Мо ду муодилаи хаттӣ бо ду тағирёбанда дорем, ки онҳоро ҳал карда метавонем:
1. \( а + 4d = 20 \)
2. \( а + 11d = 48 \)
Аз муодилаи 1, мо метавонем \(a\)-ро бо истифода аз \(d\) ифода кунем:
\[ а = 20 – 4d \]
Акнун мо \(a\)-ро ба муодилаи 2 иваз мекунем:
\[20 – 4рӯз + 11рӯз = 48 \]
\[20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Акнун мо арзиши \(d\)-ро ба муодилаи \(a = 20 – 4d\) иваз мекунем:
\[ а = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ а = 20 – 16 \]
\[ а = 4 \]
Пас, узви аввали силсила ба 4 ва фарқи умумӣ ба 4 баробар аст.
Намунаи саволи 4
Савол: Барои силсилаи арифметикӣ, ки узви аввалаш \(a = 2\) ва фарқи умумӣ \(d = 5\) бошад, ки ҷамъ ба 200 баробар бошад, чанд аъзо лозим аст?
Муҳокима:
Дар ин ҳолат, мо бояд ҷамъи n-ҳайати аввалро (\(S_n\)) пайдо кунем, ки ба 200 баробар аст. Формуларо барои ҷамъи n-ҳайати аввал истифода баред:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Қиматҳои \(a\) ва \(d\)-ро иваз кунед:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Ин муодилаи квадратӣ аст. Барои ҳалли он, мо шакли онро тағйир медиҳем:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Формулаи квадратии \(ax^2 + bx + c = 0\)-ро истифода баред:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Дар ин ҳолат \(a = 5\), \(b = -1\) ва \(c = -400\):
\[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Қимати \(\sqrt{8001}\) ба 89.42 наздик аст, пас:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Мо арзишҳои мусбатро мегирем:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \тақрибан 9.042 \]
Пас, шумораи истилоҳоти зарурӣ 9 истилоҳот аст (агар мудаввар карда шаванд).
Хулоса
Пайдарпайии арифметикӣ мавзӯи муҳим дар математика мебошанд. Фаҳмиши пурраи ҷузъи аввал, фарқи умумӣ, ҷузъи n-ум ва ҷамъи ҷузъи аввали n барои ҳалли масъалаҳои гуногун бебаҳо аст. Бо истифода аз мисолҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, умедворем, ки хонандагон мафҳумҳои асосии пайдарпайии арифметикӣ-ро беҳтар дарк хоҳанд кард.
