Намунаҳои саволҳо дар бораи таърифи доира
Доира яке аз шаклҳои асосии геометрӣ аст, ки мо дар ҳаёти ҳаррӯза зуд-зуд дучор мешавем. Дар математика, доираҳо таърифҳо ва хусусиятҳои беназир доранд. Дар ин мақола таърифи доира ва унсурҳои марбут ба он амиқ омӯхта мешавад, инчунин якчанд мисолҳои масъалаҳо ва роҳҳои ҳалли онҳо барои амиқтар фаҳмидани мо дар бораи доираҳо оварда мешаванд.
Таърифи доира
Доира маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳои ҳамворӣ аст, ки аз нуқтаи муқарраршуда, ки маркази доира номида мешавад, баробар дуранд. Масофаи байни марказ ва ҳар гуна нуқтаи доира радиуси доира номида мешавад. Муодилаи умумии доирае, ки марказаш дар нуқтаи \((h, k)\) ва радиуси \(r\) ҷойгир аст, бо формулаи зерин дода мешавад:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Он ҷо:
– \((h, k)\) координатаҳои маркази доира мебошанд,
– \(r\) радиуси доира аст,
– \(x\) ва \(y\) координатаҳои ҳар як нуқтаи доира мебошанд.
Унсурҳои доира
Пеш аз он ки мо ба саволҳои намунавӣ гузарем, донистани баъзе аз унсурҳои муҳим дар доира хуб аст:
1. Маркази доира: Нуқтаи муқаррар, ки маркази ҳамаи нуқтаҳое мебошад, ки дар масофаи якхела аз ҳамдигар ҷойгиранд.
2. Радиус (r): Масофа аз маркази давра то ҳар нуқтаи доира.
3. Диаметр (d): Хатти росте, ки аз маркази давра мегузарад ва ду нуқтаи доираро мепайвандад, дарозии он ду баробар аз радиус (\(d = 2r)) аст.
4. Камон: Қисми доираи доира, ки байни ду нуқтаи доира ҷойгир аст.
5. Хорда: Хатти росте, ки ду нуқтаи доираро мепайвандад, аммо аз марказ намегузарад.
6. Апотем: Кӯтоҳтарин масофа аз маркази доира то хорда.
7. Кунҷи марказӣ: Кунҷе, ки аз ду радиус аз маркази доира ба вуҷуд меояд.
8. Кунҷи периметрӣ: Кунҷе, ки аз ду хордае, ки дар як нуқтаи доира буриш мекунанд, ташкил меёбад.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокимаҳо
Намунаи саволи 1
Савол: Доирае дода шудааст, ки марказаш дар нуқтаи ((3, 4)) ҷойгир аст ва аз нуқтаи ((7, 4)) мегузарад. Муодилаи доираро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани муодилаи доира, мо бояд аввал радиуси онро донем. Азбаски доира аз нуқтаи \(7, 4)\ мегузарад, мо метавонем масофаи байни ин нуқта ва маркази доираро, ки \((3, 4)\) аст, ҳисоб кунем.
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Бо марказ дар хати рости √(3, 4) ва радиуси √4, муодилаи доира чунин аст:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Намунаи саволи 2
Савол: Масоҳат ва атрофи доираро бо радиуси 5 см муайян кунед.
Муҳокима:
– Масоҳати доира (A)-ро бо истифода аз формулаи \(A = \pi r^2\) ҳисоб кардан мумкин аст,
\[
A = \pi \times 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ см}^2
\]
Агар \(\pi \approx 3.14\), пас:
\[
A тақрибан 25 маротиба 3.14 = 78.5 см^2
\]
– Доираи давра (C)-ро бо истифода аз формулаи \(C = 2\pi r\) ҳисоб кардан мумкин аст,
\[
C = 2 \times \pi \times 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ см}
\]
Агар \(\pi \approx 3.14\), пас:
\[
C тақрибан 10 маротиба 3.14 = 31.4 см
\]
Намунаи саволи 3
Савол: Доира дар нуқтаи O марказ ва радиуси 7 см дорад. Агар дар доира хордае бо дарозии 10 см кашида шавад, масофаи кӯтоҳтаринро аз маркази O то хорда муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани масофаи кӯтоҳтарин аз марказ то хорда, мо мафҳуми апотемаро истифода мебарем, ки масофаи кӯтоҳтарин аз марказ то хорда аст. Бо радиуси 7 см ва дарозии хорда 10 см, мо метавонем ба ин масъала бо истифода аз секунҷаи росткунҷаи ташкилшуда муроҷиат кунем.
Агар нуқтаи миёнаи хорда нуқтаи C бошад, пас OC апотемест, ки мо меҷӯем. Агар A ва B нуқтаҳои охири хорда бошанд, пас AC ва BC ҳар кадоме 5 см (нисфи 10 см) мебошанд.
Аз секунҷаи OAC, ки дар кунҷи росткунҷаи C қарор дорад, мо теоремаи Пифагорро истифода мебарем:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]
Намунаи саволи 4
Савол: Доирае дода шудааст, ки муодилаи он \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\) аст. Марказ ва радиуси доираро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани марказ ва радиус, мо муодиларо ба шакли стандартӣ табдил медиҳем:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Мо бо такмил додани шакли квадратӣ ҳал мекунем:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
Ҷамъ ва тарҳ кардани (6/2)\(^2\) ба x-ҷумла ва (8/2)\(^2\) ба y-ҷумла:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Аз муодилаи \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\), мо мебинем, ки маркази давра \((-3, 4)\) ва радиусаш \(r = \sqrt{16} = 4\) аст.
Хулоса
Доира як мафҳуми асосӣ ва муҳим дар геометрия аст. Тавассути мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, мо метавонем дарки амиқтари ҷанбаҳо ва хосиятҳои гуногуни доираҳо пайдо кунем. Азхуд кардани ин мавзӯъ фаҳмидан ва ҳалли масъалаҳои мураккабтари геометриро осонтар мекунад.
