Намунаҳои саволҳо дар бораи ададҳои мураккаб
Ададҳои мураккаб мавзӯи зуд-зуд дучоршаванда дар математика дар сатҳи мактаби миёна ва коллеҷ мебошанд. Ададҳои мураккаб аз ду қисм иборатанд: қисми воқеӣ ва қисми тахайюлӣ. Бо истифода аз аломатгузории анъанавӣ, адади мураккаб чунин навишта мешавад: \( z = a + bi \), ки дар он \( a \) ва \( b \) ададҳои воқеӣ мебошанд ва \( i \) воҳиди тахайюлӣ бо хосияти \( i^2 = -1 \) мебошад. Дар ин мақола якчанд мисолҳо ва муҳокимаи онҳо дар бораи ададҳои мураккаб, аз амалиётҳои асосӣ то татбиқ дар ҳалли масъалаҳо, баррасӣ карда мешавад.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
1. Ҷамъ ва тарҳи ададҳои мураккаб
Саволи 1
Бигзор \( z_1 = 3 + 4i \) ва \( z_2 = 1 – 2i \). \( z_1 + z_2 \) ва \( z_1 – z_2 \) -ро ҳисоб кунед.
Пембахасан
Барои ҷамъ ё тарҳ кардани ададҳои мураккаб, мо танҳо қисми ҳақиқиро бо ададҳои воқеӣ ва қисми тахайюлиро бо ададҳои тахайюлӣ иҷро мекунем.
Илова:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Тарҳкунӣ:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Пас, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ва \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Зарби ададҳои мураккаб
Саволи 2
Ҳосили \(z_1 = 2 + 3i \)-ро бар \(z_2 = 4 – i \) ҳисоб кунед.
Пембахасан
Барои зарб кардани ду адади мураккаб, мо хосияти тақсимотии алгебраро истифода мебарем:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Мо ҳар як компонентро зарб мекунем:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Азбаски \(i^2 = -1 \), пас:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Пас, ҳосили \(z_1 \cdot z_2 \) \(11 + 10i \) аст.
3. Тақсимоти ададҳои мураккаб
Саволи 3
Қисмати \(z_1 = 3 + 4i \)-ро бо \(z_2 = 1 – i \) ҳисоб кунед.
Пембахасан
Барои тақсим кардани адади мураккаб, мо сурат ва махраҷро ба конъюгати махраҷи адади мураккаб зарб мекунем. Конъюгати \( 1 – i \) \( 1 + i \) аст.
\[
$\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)} $$
\]
Биёед аввал махраҷро ҳисоб кунем:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Акнун мо адади ҳисобро ҳисоб мекунем:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Пас, натиҷа чунин аст:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Модул ва аргументи ададҳои комплексӣ
Саволи 4
Модул ва аргументи \(z = 1 + i \)-ро муайян кунед.
Пембахасан
Модули адади комплексӣ \(z = a + bi \) чунин аст:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Барои \(z = 1 + i \), мо \(a = 1 \) ва \(b = 1 \)-ро дорем:
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Аргументи адади мураккаб кунҷи \( \тета \) аст, ки бо меҳвари воқеии мусбат ташкил карда шудааст ва аз ибтидо ба сӯи нуқтаи \( (a, b) \) чен карда мешавад.
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Пас, модули \(z = 1 + i \) \( \sqrt{2} \) ва аргументи он \( \frac{\pi}{4} \) аст.
5. Шакли экспоненсиалӣ ва намунаи Эйлер
Саволи 5
Адади мураккаби \(z = 1 + i \)-ро ба шакли экспоненсиалӣ табдил диҳед.
Пембахасан
Шакли экспоненсиалии ададҳои комплексӣ бо истифода аз формулаи Эйлер:
\[
z = re^{i\theta}
\]
ки дар он \(r \) модул ва \(\theta \) аргумент аст. Аз муҳокимаи қаблӣ мо медонем, ки:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Пас, шакли экспоненсиалӣ чунин аст:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Решаҳои ададҳои мураккаб
Саволи 6
Решаҳои квадратии адади мураккабро ёбед \(z = -1 \).
Пембахасан
Решаҳои квадратии ададҳои мураккабро бо истифода аз шакли қутбӣ ё экспоненсиалӣ ёфтан мумкин аст. Мо \(z = -1 \)-ро ба шакли экспоненсиалӣ табдил медиҳем:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Решаи квадратии \(e^{i\pi} \)-ро чунин навиштан мумкин аст:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Бо \(r = 1 \), \(\theta = \pi \), \(n = 2 \) ва \(k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Пас, решаҳои квадратии муодилаи \( -1 \) \( i \) ва \( -i \) мебошанд.
7. Татбиқ дар муодилаҳои квадратӣ
Саволи 7
Муодилаи квадратии \(z^2 + 4z + 13 = 0 \)-ро ҳал кунед.
Пембахасан
Мо метавонем формулаи квадратиро истифода барем:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Барои муодилаи \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
а = 1, б = 4, в = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Пас, ҳалли \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) \(z = -2 + 3i \) ва \(z = -2 – 3i \) мебошанд.
Хулоса
Ададҳои мураккаб як мафҳуми хеле васеъи риёзӣ мебошанд, ки татбиқҳои зиёд дорад. Бо дарки амалҳои асосӣ ба монанди ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим, инчунин чӣ гуна ҳисоб кардани модул ва аргумент, мо метавонем масъалаҳои гуногунро бо ададҳои мураккаб ҳал кунем. Умедворем, ки мисолҳои дар боло овардашуда ба шумо дар фаҳмидани беҳтар ва аз худ кардани ин мавзӯъ кӯмак мекунанд.
