Намунаҳои саволҳо дар бораи пайдарпайиҳои арифметикӣ
Силсилаи арифметикӣ як мафҳуми бунёдӣ дар математика аст, ки зуд-зуд дар имтиҳонҳои гуногун ва барномаҳои воқеӣ пайдо мешавад. Силсилаи арифметикӣ як силсилаи ададҳо бо фарқияти доимӣ байни ҳар ду истилоҳи пайдарпай мебошад. Дар ин мақола, мо мафҳуми силсилаҳои арифметикӣ-ро тавассути якчанд масъалаҳои намунавӣ бо шарҳҳои ҳамаҷониба амиқтар меомӯзем.
Таърифҳо ва қайдҳо
Пеш аз он ки ба масъалаҳои мисолӣ гузарем, фаҳмидани қайдҳое, ки аксар вақт дар пайдарпайиҳои арифметикӣ истифода мешаванд, муҳим аст. Агар \(a\) аввалин аъзо ва \(d\) фарқи умумӣ (фарқи доимӣ) бошад, пас пайдарпайии арифметикӣ метавонад чунин навишта шавад:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Ҳайати n-уми (Un)-и ин силсиларо чунин тартиб додан мумкин аст:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Дар зер якчанд саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо оварда шудаанд, то фаҳмиши пайдарпайиҳои арифметикӣ осонтар гардад.
Намунаи саволи 1
Савол:
Пайдарпайии арифметикӣ бо узви якуми \(a = 5\) ва фарқи умумӣ \(d = 3\) дода шудааст. ...
Муҳокима:
Бо истифода аз формулаи умумӣ барои узви n-ум, яъне \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Пас, узви 10-уми силсила ба 32 баробар аст.
Намунаи саволи 2
Савол:
Як пайдарпайии арифметикӣ дода шудааст, ки ҷузъи панҷум 20 ва ҷузъи ҳаштум 35 аст. Ҷузъи якуми \(a\) ва фарқи умумии \(d\)-и пайдарпайиро муайян кунед.
Муҳокима:
Аз савол, мо медонем:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Ҳарду муодиларо барои нест кардани \(a\) тарҳ кунед:
\[ (a + 7d) - (a + 4d) = 35 - 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Акнун мо барои ёфтани \(a\) ба \(d = 5\) иваз мекунем:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ а + 20 = 20 \]
\[ а = 0 \]
Пас, узви аввали силсила 0 ва фарқи он 5 аст.
Намунаи саволи 3
Савол:
Ҷамъи 20 узви аввали силсилаи арифметикӣ, ки узви аввали он \(a = 2\) ва фарқи умумӣ \(d = 4\) аст, чанд аст?
Муҳокима:
Ҷамъи n узви аввали силсилаи арифметикӣ бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Барои ин сатр:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \чап( 4 + 76 \рост) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Пас, ҷамъи 20 узви аввали силсила ба 800 баробар аст.
Намунаи саволи 4
Савол:
Ҳайати сеюми силсилаи арифметикӣ 15 ва ҳайати ҳафтум 27 аст. Ҳайати 12-уми силсиларо ёбед.
Муҳокима:
Аввалан, мо бояд арзишҳои \(a\) ва \(d\)-ро пайдо кунем. Аз савол мо медонем:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Ҳарду муодиларо барои нест кардани \(a\) тарҳ кунед:
\[ (a + 6d) - (a + 2d) = 27 - 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Акнун мо барои ёфтани \(a\) ба \(d = 3\) иваз мекунем:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ а + 6 = 15 \]
\[ а = 9 \]
Бо истифода аз формулаи n-ум ададро барои ёфтани 12-ум:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Пас, узви 12-уми силсила ба 42 баробар аст.
Намунаи саволи 5
Савол:
Силсилаи арифметикӣ бо узви якуми \(a\) ва фарқи умумӣ \(d\) ҷамъи 10 узви аввал, яъне 55, дорад. Агар \(d = 1\), узви якуми \(a\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Бо назардошти \(d = 1\) ва \(S_{10} = 55\). Формуларо барои ҷамъи ҷузъҳои аввал истифода баред:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Барои n = 10:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ а = 1 \]
Пас, узви аввали силсила 1 аст.
Хулоса
Силсилаҳои арифметикӣ як мафҳуми бунёдӣ дар математика мебошанд, ки дар соҳаҳои гуногун хеле муфиданд. Дар ин мақола мо якчанд мисолҳои силсилаҳои арифметикӣ ва ҳалли онҳоро баррасӣ кардем. Фаҳмиши хуби формулаҳо ва хосиятҳои асосии силсилаҳои арифметикӣ барои ҳалли намудҳои гуногуни масъалаҳои марбут ба ин мавзӯъ хеле муфид хоҳад буд.
Бо истифода аз мисолҳо ба монанди мисолҳои дар боло овардашуда, умедворем, ки шумо дар ҳалли масъалаҳое, ки пайдарпайиҳои арифметикӣ доранд, маҳораттар ва зудтар хоҳед шуд.
