కృషి మరియు శక్తి

మీరు బల్లపై ఉన్న ఒక పుస్తకాన్ని అది కదిలేంత వరకు నెట్టినట్లయితే, మీరు ఆ పుస్తకంపై పని చేసినట్లే . ఒక వస్తువు గురుత్వాకర్షణ శక్తి వలన భూమి ఉపరితలంపై పడితే, అప్పుడు గురుత్వాకర్షణ శక్తి ఆ వస్తువుపై పని చేసినట్లే. దీనికి విరుద్ధంగా, మీరు చెమటతో తడిసిపోయేంత వరకు ఒక వస్తువును మీ పూర్తి శక్తితో నెట్టినా ఆ వస్తువు కదలకపోతే, అప్పుడు మీరు ఆ వస్తువుపై పని చేయలేదు. నిత్య జీవితంలో, ఇతరులు మీరు ఒక వస్తువును నెట్టడానికి పని చేశారని లేదా చాలా కష్టపడ్డారని అంటారు, కానీ భౌతిక శాస్త్రం ప్రకారం , మీరు ఆ వస్తువుపై పని చేయలేదు, ఎందుకంటే ఆ వస్తువు స్థానభ్రంశానికి గురికాదు.

ఒక వస్తువుపై పనిని స్థిర బలం (బలం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటాయి) లేదా చర బలం (బలం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ ఎల్లప్పుడూ మారుతూ ఉంటాయి) ద్వారా చేయవచ్చు. పరిమాణం మరియు దిశలో స్థిరంగా ఉండే బలానికి ఒక ఉదాహరణ, ఒక వస్తువు భూమి ఉపరితలానికి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు దానిపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం. ఒక వస్తువు భూమి ఉపరితలానికి దగ్గరగా స్వేచ్ఛా పతనంలో ఉన్నప్పుడు, ఆ వస్తువును త్వరణం చేసే గురుత్వాకర్షణ బలం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ స్థిరంగా ఉంటాయి కాబట్టి, ఆ వస్తువు యొక్క స్వేచ్ఛా పతన త్వరణం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ కూడా స్థిరంగా ఉంటాయి. పరిమాణంలో స్థిరంగా లేని (బలం యొక్క దిశ స్థిరంగా ఉండే) బలానికి ఒక ఉదాహరణ స్ప్రింగ్ యొక్క బలం . మీరు ఒక స్ప్రింగ్‌ను సాగదీస్తే, దాని పొడవు పెరిగే కొద్దీ, మీరు దానిని మరింత గట్టిగా లాగుతారు. స్ప్రింగ్ సాగే కొద్దీ దానిపై ప్రయోగించబడిన బలం యొక్క పరిమాణం స్థిరంగా ఉండదు. దీనికి మరొక ఉదాహరణ, ఒక రాకెట్ అంతరిక్షంలోకి ప్రయాణించినప్పుడు లేదా భూమి ఉపరితలానికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు. రాకెట్ కదలికలో ఉన్నప్పుడు, రాకెట్‌పై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ శక్తి పరిమాణం భూ కేంద్రం నుండి దాని దూరపు వర్గానికి విలోమానుపాతంలో మారుతుంది.

గణితశాస్త్రపరంగా, ఒక వస్తువుపై స్థిర బలం చేసిన పనిని, స్థానభ్రంశం మరియు బలం యొక్క లబ్ధంగా లేదా వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం దిశలో ఉన్న బలం యొక్క భాగంగా నిర్వచిస్తారు.

స్ప్రింగ్ వంటి స్థిరంగా లేని బలం చేసే పనిని, స్థిర బలం చేసే పని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించలేము. స్ప్రింగ్‌ను సాగదీసినప్పుడు, అది మరింత సాగే కొద్దీ, దానిని సాగదీయడానికి అవసరమైన తన్యత బలం కూడా పెరుగుతుంది. అదేవిధంగా, స్ప్రింగ్‌ను సంపీడనం చేసినప్పుడు, అది బిగుతుగా ఉన్నప్పుడు, అవసరమైన నెట్టే బలం కూడా ఎక్కువగా ఉంటుంది. స్ప్రింగ్‌ను నొక్కినంత కాలం లేదా సాగదీసినంత కాలం, స్ప్రింగ్ బలం 0 (x = 0) నుండి గరిష్టం (F = kx) వరకు మారుతుంది, కాబట్టి స్ప్రింగ్ బలాన్ని సగటును ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు.

సమస్యల ఉదాహరణ

1. 2018 జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

m ద్రవ్యరాశి గల ఒక దిమ్మె నునుపైన సమతల ఉపరితలంపై ఉంది. ఆ దిమ్మె స్థానం (1) వద్ద నిశ్చలంగా ఉంది మరియు పటంలో చూపిన విధంగా t కాల వ్యవధిలో F బలం ద్వారా స్థానం (2) కి లాగబడింది.

ద్రవ్యరాశి మరియు బలాన్ని మార్చడం ద్వారా, ఈ క్రింది డేటా పొందబడింది:

పై పట్టిక ప్రకారం, వస్తువులు చేసిన పని పెద్ద నుండి చిన్న వరకు క్రమం…

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0

అడిగారు:

సమాధానం:

పని సూత్రం:

W = F s ………. సూత్రం 1

GLBB ఫార్ములా:

s = v _o t + 1/2 at ²

² వద్ద s = 1/2

ఫార్ములా 1 లో ప్రతిక్షేపించండి

W = F ( 1/2 at ² ) ………. ఫార్ములా 2

బల సూత్రం:

F = ma

a = F / m

ఫార్ములా 2 లో ప్రతిక్షేపించండి

W = 0,5 F (F/m) t ²

W = 0,5 (F ² /m) t ² ………. ఫార్ములా 3

ప్రయత్నాన్ని లెక్కించడానికి ఫార్ములా 3ని ఉపయోగించండి.

1) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (3 ² /12)(4 ² ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

2) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (4 ² /16)(3 ² ) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5

3) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (5 ² /20)(2 ² ) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5

4) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (6 ² /24)(1 ² ) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75

పెద్ద నుండి చిన్న వరకు వస్తువులు చేసిన పని 1, 2, 3, 4.

2. 2017 SMA/MA జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

క్షితిజ సమాంతర తలానికి α వాలు కోణం కలిగిన ఒక గరుకైన ఏటవాలు తలంపై 6 కిలోల బరువున్న ఒక పెట్టె 8 మీ/ ^సె⁻¹ వేగంతో జారుతోంది . ఆ పెట్టెపై పనిచేస్తున్న ఘర్షణ బలం 5 N మరియు tan α = 3/4 అయితే, ఆ పెట్టెను ఏటవాలు తలం అడుగు భాగంలో ఆపడానికి ప్రయోగించాల్సిన బలం F ఎంత?

ఎ. 15 ఎన్

బి. 25 ఎన్

సి. 45 ఎన్

డి. 55 ఎన్

E. 69,4 N

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

క్రేట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి (మీ) = 6 కిలోలు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

పెట్టె యొక్క ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 8 మీ/సె

పెట్టె యొక్క తుది వేగం (v _t ) = 0 m/s (వాలుగా ఉన్న తలం అడుగు భాగానికి చేరకముందే పెట్టె ఆగాలి)

ఘర్షణ బలం (F _{ఘర్షణ} ) = 5 N

టాంజెంట్ α = ముందు వైపు / కింది వైపు = 3/4

కర్ణం = 5 మీటర్లు

అడిగారు: ఎఫ్

సమాధానం :

యాంత్రిక పని-శక్తి సిద్ధాంతం:

సంరక్షక-రహిత బలం చేసిన పని = యాంత్రిక శక్తిలో మార్పు

సంరక్షక-రహిత బలం చేసిన పని = గతిజ మరియు స్థితిజ శక్తిలో మార్పు.

రెండు అసంరక్షక బలాలు ఉన్నాయి, అవి గతిజ ఘర్షణ మరియు F బలం.

పెట్టెపై గతిజ ఘర్షణ బలం చేసిన పని:

W = -(F _ges )(s) = -(5)(5) = -25

ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ పెట్టె యొక్క చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం.

బలం F చేసిన పని:

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

బలం F యొక్క దిశ క్రేట్ యొక్క చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం.

గతి శక్తిలో మార్పు:

Δ EK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (6)(0 ² – 8 ² ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

తుది స్థానం ప్రారంభ స్థానం కంటే దిగువన ఉన్నందున h రుణాత్మకంగా ఉంటుంది.

యాంత్రిక పని-శక్తి సిద్ధాంతం:

W _nc = Δ EM

W _ges + W _F = Δ EP + Δ EK

-25 – 5ఎఫ్ = -180 -192

-25 – 5ఎఫ్ = -372

-5F = -372 + 25

-5ఎఫ్ = – 347

F = -347 / -5

F = 69,4 న్యూటన్

సరైన సమాధానం E.

3. 2017 SMA/MA జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

పటంలో చూపిన విధంగా, 10 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక దిమ్మె A బిందువు నుండి B బిందువు మీదుగా జారి C బిందువు వద్ద ఆగుతుంది. దిమ్మెకు మరియు గరుకైన ఉపరితలానికి మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0,2, కాబట్టి ABC మార్గం యొక్క పొడవు…

ఎ. 250 సెం.మీ.

బి. 200 సెం.మీ

సుమారు 150 సెం.మీ.

వ్యాసం 100 సెం.మీ.

E. 80 సెం.మీ

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

బ్లాక్ ద్రవ్యరాశి (m) = 10 కిలోగ్రాములు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

బ్లాక్ బరువు (w) = mg = (10 kg)(10 m/s ² ) = 100 న్యూటన్లు

వాలు తలం యొక్క ఎత్తు (h) = 30 సెం.మీ = 0,3 మీటర్లు

వాలు తలం పొడవు (సె) = 50 సెం.మీ = 0,5 మీటర్లు

గతిజ ఘర్షణ గుణకం ( μ _k ) = 0,2

గతిజ ఘర్షణ బలం (f _k ) = μ _k N = μ _k w = (0,2)(100 N) = 20 N

ప్రశ్న: ABC మార్గం పొడవు

సమాధానం :

AB బిందువు నుండి వస్తువు యొక్క చలనాన్ని పరిగణించండి.

A బిందువు వద్ద ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితి శక్తి = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 జౌల్స్

బిందువు B వద్ద తుది యాంత్రిక శక్తి = గతి శక్తి

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి

30 జౌల్స్ = గతి శక్తి

కాబట్టి B బిందువు వద్ద గతిజ శక్తి = 30 జౌల్స్.

BC బిందువు నుండి వస్తువు యొక్క చలనాన్ని పరిగణించండి.

పని-యాంత్రిక శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, సంరక్షక-రహిత బలం చేసిన పని, వస్తువు యొక్క యాంత్రిక శక్తిలో మార్పుకు సమానం. యాంత్రిక శక్తిలో మార్పు = తుది యాంత్రిక శక్తి – ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి. గణితశాస్త్రపరంగా:

W _NC = Δ EM

W _NC = EM ₂ – EM ₁

వస్తువు ఒక సమతలంపై ఉంది, అందువల్ల గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి శూన్యం. యాంత్రిక శక్తి (EM) = గతిశక్తి (EK).

ప్రారంభ గతిజ శక్తి (EK ₁ ) = బిందువు B వద్ద గతిజ శక్తి = 30 జౌల్స్

తుది గతిజ శక్తి (EK ₂ ) = C బిందువు వద్ద గతిజ శక్తి = 0 (బ్లాక్ ఆగిపోతుంది).

BC యొక్క అసంరక్షక బలం చేసిన పని, గతిజ ఘర్షణ బలం చేసిన పనికి సమానం.

W _NC = – f _k s = – 20 s

Jadi

W _NC = EK ₂ – EK ₁

– 20 సె = 0 – 30

– 20 సె = – 30

20 సె = 30

s = 30/20 = 3/2 = 1,5 మీటర్లు = 1,5 x 100 సెం.మీ = 150 సెం.మీ.

ABC ట్రాక్ పొడవు = 50 సెం.మీ + 150 సెం.మీ = 200 సెం.మీ.

సరైన సమాధానం బి.

4. 2014/2015 SMA/MA ఫిజిక్స్ జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్న సంఖ్య 8

కింది పటాన్ని చూడండి! 0,4 ఘర్షణ గుణకం గల గరుకైన ఏటవాలు తలంపై ఒక దిమ్మె జారుతోంది. g = 10 ms⁻² ^{అయితే} , ఆ దిమ్మె ఏటవాలు తలం అడుగు భాగాన్ని తాకినప్పుడు దాని వేగం...

A. 2√5 ms^-1

బి. 2 √7 ms ^-1

C. 2 √14 ms ^-1

D. 2 √19 ms ^-1

E. 2 √23 ms ^-1

చర్చ

క్రింది చిత్రాన్ని చూస్తున్నప్పుడు

ఇది తెలిసిన విషయమే:

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = 6 మీ

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0 మీ

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0 (ప్రారంభంలో బ్లాక్ నిశ్చలంగా ఉంది)

గతిజ ఘర్షణ గుణకం ( μ _k ) = 0,4 ( బ్లాక్ జారుతుంది కాబట్టి ఇది గతిజ ఘర్షణ గుణకం, స్థిర ఘర్షణ గుణకం కాదు )

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

cos θ = దిగువ/వాలుగా = 8/10

నిలువు దిశలో బరువు భాగం = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

సాధారణ బలం = N = w _y = 8 మీ

గతిజ ఘర్షణ బలం = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0,4)(8 మీ) = 3,2 మీ

ప్రశ్న: తుది వేగం (v _t )

సమాధానం :

పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వస్తువుపై సంరక్షక-రహిత బలం చేసే పని, ఆ వస్తువు యొక్క యాంత్రిక శక్తిలో మార్పుకు సమానం. గతిజ ఘర్షణ అనేది సంరక్షక-రహిత బలానికి ఒక ఉదాహరణ.

W_nc = ΔEM

W _nc = Δ EK + Δ EP

సమాచారం :

W _nc = సంరక్షక-రహిత బలం చేసిన పని, Δ EM = యాంత్రిక శక్తిలో మార్పు, Δ EK = గతి శక్తిలో మార్పు, Δ EP = స్థితి శక్తిలో మార్పు.

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = 1/2 మీ (వి_t² - వి_o²) = 1/2 మీ (వి_t² - 0) = 1/2 mv_t²

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

గతిజ ఘర్షణ వల్ల జరిగిన పని:

Wnc = – f _k s = – ( 3,2 మీ)(10) = – 32 మీ

ఇది రుణాత్మకం ఎందుకంటే గతిజ ఘర్షణ బలం రుణాత్మక పని చేస్తుంది, ఇక్కడ గతిజ ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ (పైకి) వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం (క్రిందికి) దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది.

తుది వేగాన్ని (v _t ) లెక్కించండి:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 మీ = మీ (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

సరైన సమాధానం C.

5. 2014/2015 SMA/MA ఫిజిక్స్ జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్న సంఖ్య 8

పక్కన ఉన్న చిత్రాన్ని చూడండి!

^{ఒక దిమ్మె గరుకైన ఏటవాలు తలంపై జారుతూ, 10 మీ/ సె} వేగంతో ఆ తలం అడుగు భాగానికి చేరుకుంటుంది . దానిపై పనిచేస్తున్న ఘర్షణ బలం 2 N మరియు g = 10 మీ/సె ^/2 అయితే , h విలువ ఎంత?

ఎ. 10 మీ

బి. 8 మీ

సి. 6 మీ

డి. 4 మీ

E. 2 మీ

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

బ్లాక్ ద్రవ్యరాశి (m) = 1 కిలోగ్రాములు

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0 (ప్రారంభంలో బ్లాక్ నిశ్చలంగా ఉంది)

తుది వేగం (v _t ) = 10 ms ^-1

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = h

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0

గతిజ ఘర్షణ బలం (f _k ) = 2 N

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

అడిగినది: ఎత్తు (h)

సమాధానం :

గతిజ ఘర్షణ వల్ల జరిగిన పని:

Wnc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

ఇది రుణాత్మకం ఎందుకంటే గతిజ ఘర్షణ బలం రుణాత్మక పని చేస్తుంది, ఇక్కడ గతిజ ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ (పైకి) వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం (క్రిందికి) దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది.

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = 1/2 మీ (వి_t² - వి_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

యాంత్రిక పని-శక్తి సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రం:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 గంటలు

10 గంటలు = 50 + 30

10 గంటలు = 80

h = 80/10

h = 8 మీటర్లు

సరైన సమాధానం బి.