గణాంకాలలో మాన్ విట్నీ పరీక్ష

గణాంకాలలో మాన్-విట్నీ పరీక్ష

గణాంక శాస్త్రం అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక శాఖ, ఇది దత్తాంశ సేకరణ, విశ్లేషణ, వ్యాఖ్యానం మరియు ప్రదర్శనతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. దత్తాంశ ఆధారిత నిర్ణయాలు తీసుకోవడానికి వివిధ రంగాలలో గణాంక శాస్త్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు. గణాంక శాస్త్రంలో తరచుగా ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి మాన్-విట్నీ పరీక్ష (దీనిని మాన్-విట్నీ యు పరీక్ష లేదా విల్కాక్సన్ ర్యాంక్-సమ్ పరీక్ష అని కూడా పిలుస్తారు). ఇది రెండు జతకాని సమూహాల మధ్య గణనీయమైన వ్యత్యాసం ఉందో లేదో నిర్ధారించడానికి ఉపయోగించే ఒక అపరామితీయ పద్ధతి.

మాన్-విట్నీ పరీక్షకు పరిచయం

మాన్-విట్నీ పరీక్షను 1947లో హెన్రీ మాన్ మరియు డోనాల్డ్ విట్నీలు టి-పరీక్షకు ఒక నాన్‌పారామెట్రిక్ ప్రత్యామ్నాయంగా ప్రవేశపెట్టారు. ఈ పద్ధతికి నార్మాలిటీ అనే ఊహ అవసరం లేదు. అందువల్ల, డేటా సాధారణ పంపిణీని అనుసరించనప్పుడు లేదా నార్మాలిటీ ఊహను ధృవీకరించడానికి నమూనా పరిమాణం చాలా చిన్నదిగా ఉన్నప్పుడు ఇది ప్రత్యేకంగా ఉపయోగపడుతుంది.

మాన్-విట్నీ పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు

రెండు సమూహాల మధ్యస్థాలను పోల్చడానికి మాన్-విట్నీ పరీక్షను ఉపయోగిస్తారు. దీని ప్రాథమిక సూత్రం:

1. పరిశీలనను ర్యాంకింగ్ చేయడం: రెండు గ్రూపుల నుండి వచ్చిన డేటా అంతా కలిపి, చిన్న నుండి పెద్ద వరకు ర్యాంక్ చేయబడుతుంది. ఒకేలాంటి విలువలు ఉంటే, ప్రతి పరిశీలన దాని సరైన ర్యాంక్ సగటు ద్వారా ర్యాంక్ చేయబడుతుంది.

2. గణాంక పరీక్ష గణన: ప్రతి సమూహం యొక్క ర్యాంకుల మొత్తం ఆధారంగా గణాంక పరీక్ష విలువ (U) లెక్కించబడుతుంది. దీనిని లెక్కించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి: ఒకటి మొదటి సమూహంతో ప్రారంభించడం మరియు మరొకటి రెండవ సమూహంతో ప్రారంభించడం.

– U కు సాధారణ సూత్రం:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
లేదా
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
di mana:
– \(n_1\) మరియు \(n_2\) అనేవి ప్రతి సమూహంలోని పరిశీలనల సంఖ్య,
– \(R_1\) మరియు \(R_2\) అనేవి ప్రతి గ్రూపులోని ర్యాంకుల సంఖ్య.

3. ప్రాముఖ్యత పరీక్ష: p-విలువను నిర్ధారించడానికి ప్రాముఖ్యత పరీక్ష నిర్వహించబడుతుంది. పెద్ద నమూనా పరిమాణం ఉన్న పరిస్థితులలో, U పంపిణీని సాధారణ పంపిణీ ద్వారా ఉజ్జాయింపుగా తీసుకోవచ్చు.

మాన్-విట్నీ పరీక్షలోని ఊహలు

మాన్-విట్నీ పరీక్ష ఒక నాన్‌పారామెట్రిక్ పరీక్ష అయినప్పటికీ మరియు దీనికి సాధారణ పంపిణీ అనే ఊహ అవసరం లేనప్పటికీ, ఫలితాల ప్రామాణికత కోసం తప్పనిసరిగా పాటించాల్సిన అనేక సంబంధిత ఊహలు ఉన్నాయి:

1. స్వాతంత్ర్యం: రెండు సమూహాలలోని ప్రతి పరిశీలన ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉండాలి.
2. ఆర్డినల్ లేదా ఇంటర్వెల్ స్కేల్: డేటా తప్పనిసరిగా ఆర్డినల్ లేదా ఇంటర్వెల్ స్కేల్‌లో ఉండాలి. దీని అర్థం డేటాను క్రమబద్ధీకరించవచ్చు మరియు ర్యాంకింగ్ సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
3. విస్తరణ పరిధి: రెండు సమూహాల విస్తరణ ఒకే ఆకారాన్ని కలిగి ఉండాలి (మధ్యస్థం భిన్నంగా ఉన్నప్పటికీ).

మాన్-విట్నీ పరీక్షను నిర్వహించడంలో దశలు

మాన్-విట్నీ పరీక్షను నిర్వహించడానికి సాధారణంగా అనుసరించే దశలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. డేటాను కలపడం మరియు క్రమబద్ధీకరించడం: రెండు గ్రూపుల నుండి డేటాను కలిపి, మొత్తంగా క్రమబద్ధీకరించండి. సగటు విలువకు అనుసంధానించబడిన ర్యాంక్ సర్దుబాట్లతో, క్రమం ప్రకారం ర్యాంకులు కేటాయించబడతాయి.

2. ర్యాంకుల సంఖ్యను లెక్కించండి: ప్రతి గ్రూపుకు ర్యాంకుల సంఖ్యను లెక్కించండి.

3. గణాంకాల U-విలువను నిర్ణయించడం: రెండు సమూహాలకు U-విలువను లెక్కించడానికి ముందుగా వివరించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

4. క్రిటికల్ విలువ లేదా p-విలువను నిర్ధారించడం: సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసం గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనదా కాదా అని నిర్ధారించడానికి, పొందిన U-విలువను U-పంపిణీ పట్టికలోని క్రిటికల్ విలువతో పోల్చండి (లేదా p-విలువను లెక్కించండి).

ఉదాహరణకు, మన దగ్గర A మరియు B అనే రెండు డేటా సెట్‌లు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఈ డేటా ఒక నిర్దిష్ట వ్యాధికి సంబంధించిన రెండు వేర్వేరు చికిత్సలను సూచించవచ్చు, మరియు ఒక చికిత్స మరొకదాని కంటే ఎక్కువ ప్రభావవంతంగా ఉందో లేదో మనం తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాము.

ఆచరణాత్మక ఉదాహరణ

మనకు రెండు థెరపీ గ్రూపులు ఉన్నాయని అనుకుందాం:

– చికిత్స A: [85, 90, 88, 75, 91]
– థెరపీ బి: [80, 78, 95, 87, 92]

1. డేటాను విలీనం చేయడం మరియు క్రమబద్ధీకరించడం:
– మిశ్రమం: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– క్రమం మరియు ర్యాంకింగ్: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]

2. ర్యాంకుల సంఖ్యను లెక్కించడం:
– థెరపీ A రేటింగ్‌ల సంఖ్య: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– థెరపీ బి రేటింగ్‌ల సంఖ్య: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29

3. U విలువను లెక్కించడం:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
చిన్న U విలువను, అంటే U = 11ని ఎంచుకోండి.

4. ప్రాముఖ్యతను నిర్ణయించడం:
పొందిన U-విలువను మాన్-విట్నీ పంపిణీ పట్టిక నుండి వచ్చిన క్రిటికల్ U-విలువతో పోల్చండి లేదా p-విలువను లెక్కించండి. ఒకవేళ U క్రిటికల్ విలువ కంటే తక్కువగా ఉన్నా లేదా p-విలువ ఆల్ఫా (ఉదా., 0,05) కంటే తక్కువగా ఉన్నా, మనం శూన్య పరికల్పనను తిరస్కరించి, రెండు సమూహాల మధ్య గణనీయమైన వ్యత్యాసం ఉందని నిర్ధారిస్తాము.

మాన్-విట్నీ పరీక్ష యొక్క ప్రయోజనాలు మరియు పరిమితులు

శ్రేష్ఠత:

1. నాన్‌పారామెట్రిక్: సాధారణ పంపిణీ అనే ఊహ అవసరం లేదు.
2. సౌలభ్యం: డేటా ఆర్డినల్ స్కేల్‌లో ఉన్నప్పుడు లేదా అవుట్‌లయర్‌లను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఉపయోగించవచ్చు.
3. సరళమైనది మరియు ప్రభావవంతమైనది: లెక్కించడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం సులభం.

పరిమితులు:

1. సామర్థ్య నష్టం: సాధారణ పంపిణీలో, t-పరీక్ష మరింత సమర్థవంతంగా ఉంటుంది.
2. ఒకే పంపిణీ రూపం యొక్క ఊహ: ఈ పరీక్ష రెండు సమూహాల మధ్య ఒకే పంపిణీ రూపాన్ని ఊహిస్తుంది.
3. చిన్న నమూనా పరిమాణాలపై పరిమితి: చాలా చిన్న నమూనాలపై అసెంప్టోటిక్ పంపిణీ తక్కువ కచ్చితమైనదిగా ఉండవచ్చు.

ముగింపు

మాన్-విట్నీ పరీక్ష అనేది రెండు జతకాని సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగపడే ఒక శక్తివంతమైన మరియు అనువైన అపరామితిక సాధనం. దీని ప్రాథమిక సూత్రాలను మరియు అమలు చేసే దశలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం ఈ పరీక్షను వివిధ పరిశోధనా రంగాలలో అనేక రకాల అనువర్తనాలలో ఉపయోగించవచ్చు. దీనికి కొన్ని పరిమితులు ఉన్నప్పటికీ, కొన్ని పరిస్థితులలో దీనికున్న ప్రయోజనాల వల్ల ఇది గణాంకశాస్త్రంలో చాలా విలువైన పద్ధతిగా నిలుస్తుంది.