లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ ఫార్ములా
గణాంకాలు మరియు డేటా సైన్స్లో, అనేక స్వతంత్ర చరరాశులు (అంచనాదారులు) మరియు ఒక వర్గీకృత ఆధారిత చరరాశి, ముఖ్యంగా బైనరీ (ఉదా., అవును/కాదు, విజయం/వైఫల్యం, అనారోగ్యం/ఆరోగ్యం) మధ్య సంబంధాన్ని నమూనా చేయడానికి లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పద్ధతులలో ఒకటి. నిరంతర విలువలను ఉత్పత్తి చేసే లీనియర్ రిగ్రెషన్కు భిన్నంగా, లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను అంచనా వేయడానికి రూపొందించబడింది, కాబట్టి తుది ఫలితం 0 నుండి 1 పరిధిలో ఉంటుంది. ఈ వ్యాసంలో, మనం లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ సూత్రం, దానిలోని ప్రతి భాగం యొక్క అర్థం మరియు దానిని ఎలా అన్వయించుకోవాలో చర్చిస్తాము.
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ ఎందుకు అవసరం?
సంభావ్యతలను అంచనా వేయడానికి మనం లీనియర్ రిగ్రెషన్ను ఉపయోగిస్తే, ఆ మోడల్ 0 కంటే తక్కువ లేదా 1 కంటే ఎక్కువ విలువలను ఉత్పత్తి చేయగలదు, ఇది సంభావ్యతకు స్పష్టంగా అసమంజసమైనది. లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ ఈ సమస్యను ఒక నాన్లీనియర్ ఫంక్షన్ను ఉపయోగించడం ద్వారా పరిష్కరిస్తుంది, ఇది లెక్కించిన ఫలితాన్ని (అది ఏ విలువ అయినా కావచ్చు) 0 మరియు 1 మధ్య సంభావ్యత విలువకు మ్యాప్ చేస్తుంది. సర్వసాధారణంగా ఉపయోగించే ఫంక్షన్ లాజిస్టిక్ లేదా సిగ్మాయిడ్ ఫంక్షన్.
ఉదాహరణకు, ఒక కస్టమర్ వయస్సు, సబ్స్క్రిప్షన్ వ్యవధి మరియు వినియోగ తరచుదనం ఆధారంగా వారు చర్న్ అవుతారా లేదా అని మనం అంచనా వేయాలనుకుందాం. అంచనా వేయబడిన ఫలితానికి కేవలం రెండు అవకాశాలు మాత్రమే ఉంటాయి: చర్న్ (1) లేదా చర్న్ అవ్వకపోవడం (0). ఇటువంటి పరిస్థితికి లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ చాలా అనుకూలంగా ఉంటుంది.
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ కోసం ప్రాథమిక సూత్రం
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, ప్రిడిక్టర్ వేరియబుల్ \(X \) విలువ ఇవ్వబడినప్పుడు, \(Y = 1 \) (సంఘటన సంభవిస్తుంది) అనే సంభావ్యత \(p \) ను నమూనా చేయడం.
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ మోడల్లు సాధారణంగా రెండు ముఖ్యమైన రూపాల్లో వ్రాయబడతాయి:
1) సంభావ్యత రూపం (సిగ్మాయిడ్)
\[
p = P(Y=1 \mid X) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]
కలిసి
\[
z = β₀ + β₁ X₁ + β₂ X₂ + ... + βk Xk
\]
Keterangan:
– \( p \) అనునది సంఘటన సంభావ్యత (ఉదా: మార్పు = 1).
– \( e \) అనేది యూలర్ సంఖ్య (సుమారు 2,71828).
– \( z \) అనేది అంచనాదారుల యొక్క రేఖీయ కలయిక.
– \( \beta_0 \) అనేది అంతరఖండం (స్థిరాంకం).
– \( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k \) లు రిగ్రెషన్ గుణకాలు.
– (X_1, X_2, ..., X_k) అనేవి స్వతంత్ర చరరాశులు.
సిగ్మాయిడ్ ఫంక్షన్, \(z\) విలువ ఏది అయినప్పటికీ, \(p\) విలువ 0 మరియు 1 మధ్య ఉండేలా నిర్ధారిస్తుంది.
2) లాజిట్ ఫారం (లాగ్ ఆడ్స్)
మరొక చాలా ముఖ్యమైన రూపం లాజిట్ రూపం, ఇది ఆడ్స్ యొక్క లాగరిథమ్:
\[
లాజిట్(p) = ln(p/1-p) = β₀ + β₁ X₁ + β₂ X₂ + ... + βk Xₖ
\]
Keterangan:
– \( \frac{p}{1-p} \) ను ఆడ్స్ (సాపేక్ష అవకాశం) అంటారు.
– \( \ln \) అనుదినం సహజ సంవర్గమానం.
లాజిట్ రూపం వివరించేదేమిటంటే, లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ వాస్తవానికి లాగ్ ఆడ్స్ను ప్రిడిక్టర్ల యొక్క లీనియర్ ఫంక్షన్గా మోడల్ చేస్తుంది. ఇది కోఎఫిషియంట్లను అర్థం చేసుకోవడాన్ని మరింత స్పష్టం చేస్తుంది, ముఖ్యంగా ఆడ్స్ రేషియోల సందర్భంలో.
ఆడ్స్ మరియు ఆడ్స్ నిష్పత్తులను అర్థం చేసుకోవడం
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ సూత్రాన్ని నిజంగా అర్థం చేసుకోవాలంటే, మనం సంభావ్యత మరియు ఆడ్స్ మధ్య తేడాను గుర్తించాలి.
– సంభావ్యత (p): ఒక సంఘటన జరగడానికి గల అవకాశం (0 నుండి 1).
– సంభావ్యత: ఏదైనా జరగడానికి మరియు జరగకపోవడానికి మధ్య గల సంభావ్యతల పోలిక:
\[
బేసి సంఖ్యలు = p/1-p
\]
ఉదాహరణ: \( p = 0{,}8 \) అయితే:
\[
బేసి సంఖ్యలు = 0, 8 / 0, 2 = 4
\]
దీని అర్థం ఏమిటంటే, ఆ సంఘటన జరగడానికి అవకాశం జరగకపోవడం కంటే 4 రెట్లు ఎక్కువగా ఉంది.
లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్లో, గుణకం \( \beta \) ను తరచుగా ఆడ్స్ నిష్పత్తి ద్వారా వివరిస్తారు:
\[
OR = e^{\beta}
\]
– ఒకవేళ \( \beta > 0 \) అయితే, అప్పుడు \( e^{\beta} > 1 \): ప్రిడిక్టర్ ఈవెంట్ యొక్క ఆడ్స్ను పెంచుతుంది.
– ఒకవేళ \( \beta < 0 \) అయితే, అప్పుడు \( e^{\beta} < 1 \): ప్రిడిక్టర్ ఈవెంట్ యొక్క ఆడ్స్ను తగ్గిస్తుంది. - ఒకవేళ \( \beta = 0 \) అయితే, అప్పుడు \( e^{\beta} = 1 \): ఆడ్స్పై ఎటువంటి ప్రభావం ఉండదు. ఉదాహరణకు, ఒకవేళ \( \beta_1 = 0{,}7 \) అయితే, అప్పుడు: \[ e^{0{,}7} \approx 2{,}01 \] దీని అర్థం ఏమిటంటే, \( X_1 \) లో ప్రతి 1 యూనిట్ పెరుగుదల ఈవెంట్ యొక్క ఆడ్స్ను సుమారుగా 2,01 రెట్లు గుణిస్తుంది (ఇతర వేరియబుల్స్ స్థిరంగా ఉన్నాయని భావిస్తే). ఒక సాధారణ లాజిస్టిక్ రిగ్రెషన్ మోడల్ యొక్క ఉదాహరణ ఒక పరీక్షలో ఉత్తీర్ణతను (పాస్ = 1, ఫెయిల్ = 0) అంచనా వేయడానికి, మనకు వారానికి చదివే గంటల సంఖ్య వంటి ఒకే ఒక ప్రిడిక్టర్ వేరియబుల్ \( X \) ఉందని అనుకుందాం. మోడల్:
