వేరియెన్స్‌ను ఎలా లెక్కించాలి

విచలనాన్ని ఎలా లెక్కించాలి: ఒక పూర్తి మార్గదర్శిని

విచలనం అనేది అర్థశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ నుండి మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు గణాంకశాస్త్రం వరకు వివిధ రంగాలలో ఉపయోగించే ఒక ప్రాథమిక గణాంకం. ఇది ఒక దత్తాంశ సమితిలోని విలువలు సగటు చుట్టూ ఎంత మేరకు విస్తరించి ఉన్నాయో అనే సమాచారాన్ని అందిస్తుంది. ఈ వ్యాసంలో, మనం విచలనం యొక్క నిర్వచనం నుండి ఆచరణాత్మక దశల వరకు, దానిని ఎలా గణించాలో లోతుగా పరిశీలిద్దాం.

పెండహులువాన్

విచలనాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మనం గణాంకాలలోని కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవాలి. విచలనం అనేది ఒక దత్తాంశ సమితిలోని విలువలు సగటు నుండి ఎంత మేరకు విచలిస్తాయో తెలిపే ఒక కొలమానం. ప్రతి విలువకు మరియు సగటుకు మధ్య ఉన్న వర్గ భేదాల సగటుగా విచలనాన్ని లెక్కిస్తారు. విచలనం దత్తాంశంలోని "వైవిధ్యత"కు ఒక సూచనను అందిస్తుంది.

వైవిధ్యం యొక్క నిర్వచనం

గణితశాస్త్రపరంగా, విచలనం:

\[ \text{విచలనం} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]

di mana:

– \( \sigma^2 \) అనేది జనాభా వైవిధ్యం.
– \( N \) అనునది జనాభాలోని మొత్తం విలువల సంఖ్య.
– \( x_i \) అనేది iవ వ్యక్తి యొక్క విలువ.
– \( \mu \) అనేది జనాభా సగటు.

నమూనాల విషయంలో, విచలన సూత్రం కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది:

\[ \text{నమూనా విచలనం} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

di mana:

– \( s^2 \) అనేది నమూనా విచలనం.
– \( n \) అనేది నమూనాలోని మొత్తం విలువల సంఖ్య.
– \( x_i \) అనేది నమూనాలోని iవ వ్యక్తి యొక్క విలువ.
– \( \bar{x} \) అనునది నమూనా సగటు.

వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించే దశలు

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణ ద్వారా వేరియెన్స్‌ను లెక్కించే ఆచరణాత్మక దశలను సమీక్షిద్దాం.

ఉదాహరణ: జనాభా వైవిధ్యాన్ని లెక్కించడం

మన దగ్గర 2, 4, 6, 8, 10 అనే విలువలతో కూడిన ఒక చిన్న డేటాసెట్ ఉందని అనుకుందాం.

1. దశ 1: సగటును (మీన్) లెక్కించండి

\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]

2. దశ 2: సగటు నుండి ప్రతి విలువ యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి, దానిని వర్గీకరించండి

\[
\begin{align }
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 &= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 &= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 &= 4^2 = 16 \\
`end{align }`
\]

3. దశ 3: వ్యత్యాసాల వర్గాలన్నింటినీ కలపండి

[16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40]

4. దశ 4: వ్యత్యాసాల వర్గాల మొత్తాన్ని విలువల సంఖ్య (N)తో భాగించండి

\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

కాబట్టి, ఈ డేటా యొక్క జనాభా వైవిధ్యం 8.

ఉదాహరణ: నమూనా విచలనాన్ని లెక్కించడం

ఇప్పుడు, పై డేటాసెట్ నుండి 2, 4, 6 అనే ఒక చిన్న నమూనాను తీసుకుందాం.

దశ 1: నమూనా సగటును లెక్కించండి

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]

2. దశ 2: సగటు నుండి ప్రతి విలువ యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి, దానిని వర్గీకరించండి

\[
\begin{align }
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 &= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 &= 2^2 = 4 \\
`end{align }`
\]

3. దశ 3: వ్యత్యాసాల వర్గాలన్నింటినీ కలపండి

[ 4 + 0 + 4 = 8 ]

4. దశ 4: వ్యత్యాసాల వర్గాల మొత్తాన్ని (n – 1)తో భాగించండి

\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]

కాబట్టి, ఈ డేటా యొక్క నమూనా విచలనం 4.

జనాభా మరియు నమూనాలో వైవిధ్యం

జనాభా వైవిధ్యం మరియు నమూనా వైవిధ్యం మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. జనాభా వైవిధ్యం మొత్తం జనాభా అంతటా డేటా వ్యాప్తిని కొలుస్తుంది, అయితే నమూనా వైవిధ్యం జనాభాలోని ఒక ఉపసమితి (నమూనా) లోపల వ్యాప్తిని కొలుస్తుంది. చాలా సందర్భాలలో, జనాభా వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి నమూనా వైవిధ్యాన్ని ఉపయోగిస్తారు. నమూనా వైవిధ్యం యొక్క గణనలో \( (n-1) \) తో భాగించడం జనాభా వైవిధ్యం యొక్క అంచనాలో పక్షపాతాన్ని తగ్గిస్తుంది.

వైవిధ్య దరఖాస్తు

వైవిధ్యం అనేది వివిధ రకాల అనువర్తనాలలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

1. ఆర్థిక ప్రమాద విశ్లేషణ: ఫైనాన్స్‌లో, ప్రమాదాన్ని అంచనా వేయడానికి మరియు పెట్టుబడి పోర్ట్‌ఫోలియోలను నిర్వహించడానికి వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగిస్తారు. అధిక వ్యత్యాసం అంటే ఎక్కువ ప్రమాదకరమైన పెట్టుబడి అని అర్థం.

2. సామాజిక శాస్త్రాలు: మనస్తత్వశాస్త్రం లేదా సామాజిక శాస్త్ర పరిశోధనలో, జనాభా సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసాలను కొలవడానికి వైవిధ్యం ఉపయోగించబడుతుంది.

3. నాణ్యత నియంత్రణ: తయారీలో, ఉత్పత్తి నాణ్యతను పర్యవేక్షించడానికి మరియు నియంత్రించడానికి వ్యత్యాసాలను ఉపయోగిస్తారు.

4. ప్రయోగాత్మక గణాంకాలు: ప్రయోగాత్మక ఫలితాలను విశ్లేషించడానికి మరియు వ్యత్యాసాల ప్రాముఖ్యతను నిర్ధారించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనం

విచలనం (variance) ను తరచుగా ప్రామాణిక విచలనం (standard deviation) తో కలిపి ఉపయోగిస్తారు, ప్రామాణిక విచలనం అనేది విచలనం యొక్క వర్గమూలం. విచలనం కంటే ప్రామాణిక విచలనం వ్యాప్తిని మరింత ప్రత్యక్షంగా మరియు సులభంగా అర్థం చేసుకోగలిగే కొలమానంగా అందిస్తుంది. ఈ రెండింటి మధ్య సమీకరణం:

\[ \text{ప్రామాణిక విచలనం} (\sigma) = \sqrt{\text{విచలనం} (\sigma^2)} \]

ముగింపు

విచలనాన్ని లెక్కించడం అనేది సాంఖ్యక విశ్లేషణలో ఒక కీలకమైన భాగం, ఇది ఒక దత్తాంశ సమితిలోని వ్యాప్తిని లేదా విస్తరణను కొలుస్తుంది. ప్రాథమిక భావనలను మరియు విచలనాన్ని ఎలా లెక్కించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం దత్తాంశాన్ని మరింత మెరుగ్గా విశ్లేషించవచ్చు, ప్రమాదాన్ని అంచనా వేయవచ్చు మరియు మరింత సమాచారంతో కూడిన నిర్ణయాలు తీసుకోవచ్చు.

మరింత శాస్త్రీయ విశ్లేషణ కోసం పాపులేషన్ వేరియెన్స్‌ను ఉపయోగించినా లేదా డేటా సబ్‌సెట్ నుండి అంచనా వేయడానికి శాంపుల్ వేరియెన్స్‌ను ఉపయోగించినా, వేరియెన్స్‌పై సమగ్ర అవగాహన డేటాలోని వైవిధ్యాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు దానిని అనేక వాస్తవ ప్రపంచ పరిస్థితులకు వర్తింపజేయడానికి మనకు సహాయపడుతుంది. ఈ వ్యాసం వేరియెన్స్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు లెక్కించడానికి ఒక ఆచరణాత్మక మరియు ఉపయోగకరమైన మార్గదర్శిని అందిస్తుందని ఆశిస్తున్నాము.