యూనిట్ వెక్టర్లు – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

యూనిట్ వెక్టర్లు – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. ఒక వస్తువు v = (2i − 1.5j) m/s వేగంతో కదులుతోంది. 4 సెకన్ల తర్వాత ఆ వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం ఎంత ?

తెలిసినది :

వేగం యొక్క క్షితిజ సమాంతర భాగం (v _x ) = 2 మీ/సె

వేగం యొక్క నిలువు భాగం (v _y ) = 1.5 మీ/సె

సమయ వ్యవధి (t) = 4 సెకన్లు

కావలసినది: స్థానభ్రంశం

పరిష్కారం:

వేగం (v) యొక్క ఫలితం:

స్థానభ్రంశం:

s = vt = (2.5 మీ/సె)(4 సె)

s = 10 మీటర్లు

2. వెక్టర్ F₁ = 14 N మరియు F₂ = 10 N. R = i + j లో పేర్కొన్నట్లయితే ఫలిత సదిశను కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

F_1x = (ఎఫ్₁)(cos 60^o) = (14)(0.5) = -7 N (ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ నెగటివ్ x అక్షం వెంబడి (ఎడమవైపుకు) ఉన్నందున ఇది రుణాత్మకం)

F_1y = (ఎఫ్₁)(sin 60^o) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (ఈ వెక్టర్ కాంపోనెంట్ ధనాత్మక y అక్షం వెంబడి (కుడివైపుకు) ఉన్నందున ఇది ధనాత్మకం)

F_2x = 10 N

F _2y = 0

ఫలిత వెక్టర్ల యొక్క భాగాలు:

F_x = ఎఫ్_1x + F_2x + F_3x = -7 + 10 = 3 N

F_y = ఎఫ్_1y + F_2y + F_3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

యూనిట్ వెక్టర్‌లో ఫలిత వెక్టర్:

R = 3 i + 7√3 j

1. యూనిట్ వెక్టర్ అంటే ఏమిటి? జవాబుయూనిట్ వెక్టర్ అనేది 1 పరిమాణం కలిగిన ఒక వెక్టర్. ఇది సాధారణంగా పరిమాణం గురించి ఎలాంటి సమాచారాన్ని తెలియజేయకుండా దిశను సూచిస్తుంది.
2. వెక్టర్ గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో యూనిట్ వెక్టర్లు ఎందుకు ముఖ్యమైనవి? జవాబుయూనిట్ వెక్టర్లు చాలా అవసరం, ఎందుకంటే అవి దిశలను వివరించడానికి ఒక ప్రామాణిక మార్గాన్ని అందిస్తాయి. ఒక నిర్దిష్ట దిశలో కావలసిన పొడవు గల వెక్టర్‌ను ఉత్పత్తి చేయడానికి వాటిని ఒక పరిమాణంతో స్కేల్ చేయవచ్చు.
3. ఇచ్చిన వెక్టర్ నుండి యూనిట్ వెక్టర్‌ను ఎలా పొందుతారు? జవాబుఇచ్చిన వెక్టర్ దిశలో ఉన్న యూనిట్ వెక్టర్‌ను, ఆ వెక్టర్‌ను దాని మాగ్నిట్యూడ్‌తో భాగించడం ద్వారా పొందవచ్చు.
4. కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో ప్రామాణిక యూనిట్ వెక్టర్లు ఏమిటి మరియు వాటి దిశలు ఏమిటి? జవాబుకార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో ప్రామాణిక యూనిట్ వెక్టర్లు i, jమరియు k. i x-అక్షం దిశలో సూచిస్తుంది, j y-అక్షం దిశలో సూచిస్తుంది, మరియు k z-అక్షం దిశలో ఉంటుంది.
5. యూనిట్ వెక్టర్‌కు 1 లేదా -1 కాకుండా ఇతర భాగాలు ఉండగలవా? జవాబుఅవును. యూనిట్ వెక్టర్ యొక్క భాగాలు దాని దిశపై ఆధారపడి ఉంటాయి. యూనిట్ వెక్టర్లు మాత్రమే కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సమలేఖనం చేయబడతాయి (ఉదాహరణకు: i, j, k కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో) 1, -1, లేదా 0 అనే భాగాలను కలిగి ఉంటుంది.
6. రెండు యూనిట్ వెక్టర్ల మొత్తం తప్పనిసరిగా యూనిట్ వెక్టర్ అవుతుందా? జవాబుకాదు. రెండు యూనిట్ వెక్టర్లు సరేఖీయంగా ఉండి, వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటే తప్ప, వాటి మొత్తం సాధారణంగా యూనిట్ వెక్టర్ కాదు.
7. ఒక యూనిట్ వెక్టర్‌ను, అదే దిశలో ఉండి వేరే పరిమాణం గల వెక్టర్‌ను సూచించేలా స్కేల్ చేయవచ్చా? జవాబుఅవును. ఒక యూనిట్ వెక్టర్‌ను స్కేలర్‌తో గుణించడం వల్ల, దాని దిశ మారకుండా దాని పరిమాణం మారుతుంది.
8. రెండు యూనిట్ వెక్టర్ల క్రాస్ ప్రొడక్ట్ యొక్క పరిమాణం ఎంత? జవాబురెండు యూనిట్ వెక్టర్ల క్రాస్ ప్రొడక్ట్ యొక్క పరిమాణం వాటి మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌కు సమానం. వెక్టర్లు లంబంగా ఉన్నప్పుడు గరిష్ట విలువ 1, మరియు వెక్టర్లు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు కనిష్ట విలువ 0.
9. రెండు యూనిట్ వెక్టర్ల డాట్ ప్రొడక్ట్ వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను ఎందుకు ఇస్తుంది? జవాబురెండు సదిశల డాట్ ప్రొడక్ట్ సూత్రం వాటి పరిమాణాల లబ్ధం మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. రెండు సదిశలు యూనిట్ సదిశలు అయినప్పుడు, వాటి పరిమాణాలు 1గా ఉంటాయి, కాబట్టి డాట్ ప్రొడక్ట్ కేవలం కోణం యొక్క కొసైన్‌గా సరళీకృతం అవుతుంది.

10. యూనిట్ వెక్టర్ భావనను కార్టీసియన్-యేతర నిరూపక వ్యవస్థలలోకి ఎలా విస్తరించారు? జవాబుగోళాకార లేదా స్థూపాకార నిరూపక వ్యవస్థల వంటి కార్టీసియన్-యేతర నిరూపక వ్యవస్థలలో, ప్రతి నిరూపక దిశకు అనుగుణంగా వేర్వేరు యూనిట్ వెక్టర్లు ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, గోళాకార నిరూపక వ్యవస్థలో, యూనిట్ వెక్టర్లు ఈ విధంగా ఉంటాయి: r (వ్యాసార్థ దిశ), θ (ధ్రువ కోణ దిశ), మరియు φ (అజిముతల్ దిశ).