1. పటంలో చూపిన విధంగా m 1 = 2 kg మరియు m 2 = 5 kg ద్రవ్యరాశులు ఒక ఏటవాలు తలంపై ఒక తాడుతో అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. m 1 మరియు ఏటవాలు మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0.2 మరియు m 2 మరియు ఏటవాలు మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0.1.
(ఎ) వాటి త్వరణాన్ని నిర్ణయించండి
(బి) తన్యత బలాన్ని నిర్ణయించండి
తెలిసినది :
ద్రవ్యరాశి 1 (m 1 ) = 2 కిలోగ్రాములు
ద్రవ్యరాశి 2 (m 2 ) = 4 కిలోగ్రాములు
m 1 మరియు వాలు తలం మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం (μ k1 ) = 0.2
m 2 మరియు వాలు తలం మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం (μ k2 ) = 0.1
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 9.8 మీ/సె 2
a) త్వరణం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ
w 1 = బరువు 1 = m 1 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 న్యూటన్లు
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 న్యూటన్లు
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 న్యూటన్లు
N 1 = m 1 పై సాధారణ బలం = w 1y = 17 న్యూటన్లు
F k1 = m 1 పై గతిజ ఘర్షణ బలం = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 న్యూటన్లు
---
w 2 = బరువు 2 = m 2 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 న్యూటన్లు
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 న్యూటన్లు
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 న్యూటన్లు
N 2 = m 2 పై సాధారణ బలం = w 2y = 19.6 న్యూటన్లు
F k2 = m 2 పై గతిజ ఘర్షణ బలం = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 న్యూటన్లు
---
త్వరణం యొక్క పరిమాణం :
∑ F x = ma x
w 2x > w 1x కాబట్టి త్వరణం యొక్క దిశ w 2x యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది.
త్వరణం దిశలో ఉండే బలాలు ధనాత్మకం, త్వరణానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉండే బలాలు రుణాత్మకం.
w2x - ఎఫ్k2 - టి2 + T1 - w1x - ఎఫ్k1 = (మీ1 + మ2) ax
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
a x = 3.16 m/s 2
త్వరణం యొక్క పరిమాణం = 3.16 మీ/సె² . త్వరణం యొక్క దిశ = T₁ దిశ = w₂x దిశ
బి) తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం
వస్తువు 2 పై న్యూటన్ రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి:
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
32.14 N – T 2 = 12.64 N
T 2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 న్యూటన్లు
తన్యత బలం = T = T 1 = T 2 = 19.5 న్యూటన్లు
2. m 1 = 4 kg, m 2 = 2 kg. కనుగొనండి (a) త్వరణం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ (b) m 1 మరియు m 2 లను కలిపే తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం (c) కప్పి మరియు పైకప్పును కలిపే తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం.
సొల్యూషన్
w 1 = m 1 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 న్యూటన్లు
w 2 = m 2 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 న్యూటన్లు
a) త్వరణం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ
∑ F y = ma y
w 1 > w 2 కాబట్టి వస్తువు యొక్క దిశ బరువు 1 ( w 1 ) యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది . త్వరణం యొక్క దిశలో ఉండే బలాలు ధనాత్మకం మరియు త్వరణానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉండే బలాలు రుణాత్మకం.
w 1 – T 1 + T 2 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
w 1 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a y
19.6 N = (6 kg) a y
y = 19.6 N : 6 kg
y = 3.26 మీ/ సె 2
త్వరణం యొక్క పరిమాణం = 3.26 మీ/సె² . త్వరణం యొక్క దిశ = w₁ యొక్క దిశ.
బి) m 1 మరియు m 2 లను కలిపే తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం
m 2 పై న్యూటన్ రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి :
∑ F y = ma y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T 1 = 13.04 N
T 1 = 39.2 N – 13.04 N
T 1 = 26.16 న్యూటన్
వస్తువులను కలిపే తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం = T = T 1 = T 2 = 26.16 న్యూటన్లు
c) కప్పి మరియు పైకప్పును కలిపే తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం.
కప్పి నిశ్చలంగా ఉంది:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
పైకి పనిచేసే బలాలు ధనాత్మకం, కిందికి పనిచేసే బలాలు రుణాత్మకం:
T 3 – T 1 – T 2 = 0
T3 = T1 + T2
T 1 మరియు T 2 లు ఒకే పరిమాణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి , T 1 = T 2 = T = 26.16 N :
T 3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 న్యూటన్లు
3. బ్లాక్ 1 (m 1 = 10 kg) మరియు బ్లాక్ 2 (m 2 = 15 kg) ఘర్షణ లేని కప్పిపై ఒక తాడు ద్వారా అనుసంధానించబడ్డాయి. బ్లాక్ 2 మరియు బ్లాక్ 2 మధ్య వాలు యొక్క స్థిర ఘర్షణ గుణకం = 0.6. బ్లాక్ 2 మరియు బ్లాక్ 2 మధ్య వాలు యొక్క గతిజ ఘర్షణ గుణకం = 0.42. కనుగొనండి (a) వస్తువులు పైకి త్వరణం చెందడానికి వాటిపై ప్రయోగించబడిన కనిష్ట బలం F యొక్క పరిమాణం (b) తన్యత బలం యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొనండి.
సొల్యూషన్
w 1 = బ్లాక్ 1 యొక్క బరువు = m 1 g = (10 kg)(9.8 m/s 2 ) = 98 న్యూటన్లు
w 2 = బ్లాక్ 2 యొక్క బరువు = m 2 g = (15 kg)(9.8 m/s 2 ) = 147 న్యూటన్లు
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 న్యూటన్లు
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 న్యూటన్లు
N 2 = బ్లాక్ 2 పై సాధారణ బలం = w 2y = 127.89 న్యూటన్లు
F k2 = బ్లాక్ 2 పై గతిజ ఘర్షణ బలం = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 న్యూటన్లు
F s2 = బ్లాక్ 2 పై స్థిర ఘర్షణ బలం = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 న్యూటన్లు
a) వస్తువులు పైకి త్వరణం చెందడానికి వాటిపై ప్రయోగించిన కనిష్ట బలం F యొక్క పరిమాణం
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ F x = 0
ఊర్ధ్వ బలాలు మరియు కుడి బలాలు ధనాత్మకం, కనిష్ఠ బలాలు మరియు ఎడమ బలాలు రుణాత్మకం.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 న్యూటన్
బి) తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం
బ్లాక్ 1 పై న్యూటన్ గమన నియమాన్ని వర్తింపజేయండి:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
T 1 – w 1 = 0
T 1 = w 1 = 98 న్యూటన్
బ్లాక్ 2 పై న్యూటన్ గమన నియమాన్ని వర్తింపజేయండి:
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T 2 = F – F k2 – w 2x
T 2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T 2 = 98 న్యూటన్
తన్యత బలం యొక్క పరిమాణం = T 1 = T 2 = T = 98 న్యూటన్లు
4. బ్లాక్ 1 (m 1 = 16 kg) ఒక క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలంపై ఉంది మరియు బ్లాక్ 2 (m 2 = 12 kg) ఒక నునుపైన ఏటవాలు తలంపై ఉంది, ఇవి ఒక చిన్న, ఘర్షణ లేని కప్పిపై నుండి వెళ్ళే తాడు ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. బ్లాక్ 3 (m 3 = 5 kg) బ్లాక్ 2 పై ఉంది. బ్లాక్ 2 మరియు క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలం మధ్య గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0,4. బ్లాక్ 2 మరియు బ్లాక్ 3 మధ్య స్థిజ ఘర్షణ గుణకం 0,3.
(ఎ) వ్యవస్థను నిశ్చల స్థితి నుండి విడుదల చేసినప్పుడు, బ్లాక్ 3 మరియు బ్లాక్ 2 ఇప్పటికీ కలిసి జారుతాయా?
(b) బ్లాక్ 3 ఉన్నట్లయితే, బ్లాక్ 1 మరియు బ్లాక్ 2 యొక్క త్వరణం ఎంత?
పరిష్కారం:
a) వ్యవస్థను నిశ్చల స్థితి నుండి విడుదల చేసినప్పుడు, బ్లాక్ 3 మరియు బ్లాక్ 2 ఇప్పటికీ కలిసి జారుతాయా?
w 1 = బ్లాక్ 1 యొక్క బరువు = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 న్యూటన్లు
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 న్యూటన్లు
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 న్యూటన్లు
N 1 = వాలు తలం ద్వారా బ్లాక్ 1 పై ప్రయోగించబడిన సాధారణ బలం = w 1y = 78.4 న్యూటన్లు
w 3 = బ్లాక్ 3 యొక్క బరువు = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 న్యూటన్లు
N 23 = బ్లాక్ 2 ద్వారా బ్లాక్ 3 పై ప్రయోగించబడిన సాధారణ బలం = w 3 = 49 న్యూటన్లు
N 32 = బ్లాక్ 3 ద్వారా బ్లాక్ 2 పై ప్రయోగించబడిన సాధారణ బలం = N 23 = w 3 = 49 న్యూటన్లు
(N 23 మరియు N 32 అనేవి చర్య-ప్రతిచర్య జత )
F s23 = బ్లాక్ 2 ద్వారా బ్లాక్ 3 పై ప్రయోగించబడిన స్థిర ఘర్షణ బలం = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 న్యూటన్లు
F s32 = బ్లాక్ 3 ద్వారా బ్లాక్ 2 పై ప్రయోగించబడిన స్థిర ఘర్షణ బలం = F s 23 = 14.7 న్యూటన్లు
(F s23 మరియు F s32 అనేవి చర్య-ప్రతిచర్య జత )
w 2 = బ్లాక్ 2 యొక్క బరువు = m 2 g = (12 kg)(9.8 m/s 2 ) = 117.6 న్యూటన్లు
N 2 = క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలం ద్వారా వస్తువు 2 పై ప్రయోగించబడిన సాధారణ బలం = w 2 + N 32 = 117.6 న్యూటన్లు + 49
న్యూటన్ = 166.6 న్యూటన్
F k2 = బ్లాక్ 2 పై గతిజ ఘర్షణ బలం = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 న్యూటన్లు
బ్లాక్ 3 పై న్యూటన్ గమన నియమాన్ని వర్తింపజేయండి:
∑ F x = ma x
F s23 = m 3 a x
ఎఫ్ —–> ఎఫ్s23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s 2 ) = 2.94 m/s 2
బ్లాక్ 3 మరియు బ్లాక్ 2 కలిసి జారుతూ ఉండటానికి, బ్లాక్ 3 యొక్క గరిష్ట త్వరణం 2.94 మీ/సె² ఉంటుంది.
ఇప్పుడు మనం నిశ్చల స్థితి నుండి విడుదల చేసిన తర్వాత వ్యవస్థ యొక్క త్వరణం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కిస్తాము.
బ్లాక్ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశ = బ్లాక్ త్వరణం యొక్క దిశ = T 2 యొక్క దిశ = w 1x యొక్క దిశ.
∑ F x = ma x
w1x - టి1 + T2 - ఎఫ్k2 - ఎఫ్s32 + Fs23 = (మీ1 + మ2 + మ3) ax
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
69.76 N = (33 kg) a x
a x = 2.11 m/s 2
ax ధనాత్మకంగా ఉంది , అంటే బ్లాక్ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశ లేదా త్వరణం యొక్క దిశ T2 యొక్క దిశ లేదా w1x యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది.
త్వరణం యొక్క పరిమాణం 2.11 m/s² , ఇది 2.94 m/s² కంటే తక్కువ . కాబట్టి నిశ్చల స్థితి నుండి విడుదల చేసిన తర్వాత కూడా బ్లాక్ 3 మరియు బ్లాక్ 2 కలిసి జారుతున్నాయని మనం నిర్ధారించవచ్చు.
బి) బ్లాక్ 1 మరియు బ్లాక్ 2 యొక్క త్వరణం యొక్క పరిమాణం
∑ F x = ma x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
ఎఫ్ —–> ఎఫ్k2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 న్యూటన్
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package id='493′]
- ద్రవ్యరాశి మరియు బరువు
- సాధారణ శక్తి
- న్యూటన్ రెండవ గమన నియమం
- ఘర్షణ బలం
- ఘర్షణ బలం లేకుండా క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలంపై చలనం
- ఘర్షణ బలంతో గరుకైన క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలంపై ఒకే త్వరణంతో రెండు వస్తువుల చలనం
- ఘర్షణ బలం లేకుండా వాలు తలంపై చలనం
- ఘర్షణ బలంతో గరుకైన ఏటవాలు తలంపై చలనం
- లిఫ్ట్లో కదలిక
- వస్తువుల చలనం తాడులు మరియు కప్పీల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటుంది.
- ఒకే త్వరణ పరిమాణం కలిగిన రెండు వస్తువులు
- సమతల వక్రరేఖను దాటడం – వృత్తాకార చలన గతిశాస్త్రం
- వాలుగా ఉన్న వంపును దాటడం – వృత్తాకార చలనం యొక్క గతిశీలత
- క్షితిజ సమాంతర వృత్తంలో ఏకరీతి చలనం
- ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో అపకేంద్ర బలం
